Opgave 42

Geplaatst op 30 maart 2025 door admin

Antwoord

Stel $x=\frac{a}{b}$ ; Dan is $x+x^{-1}=1$ of $x^2-x+1=0$ .
De oplossingen hiervan zijn $\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ . Het is duidelijk dat de ene oplossing x voorstelt en de andere $x^{-1}$ .
We kunnen deze complexe oplossingen ook schrijven met behulp van de goniometrische notatie: $x=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ}$ en $x=\cos -60^{\circ}+i\sin -60^{\circ}$ .
Nu moeten we $x^{2025}+x^{-2025}$ uitrekenen. We doen dit met de formule van Le Moivre.
$x^{2025}=\cos 2025.60^{\circ}+i\sin 2025.60^{\circ}=\cos 675.180^{\circ}+i\sin675.180^{\circ}$ . Een oneven veelvoud van $180^{\circ}$ maakt de cosinus -1 en de sinus 0.
Dus $x^{2025}=-1$ . Analoog kunnen we $x^{-2025}$ uitrekenen en we vinden $\cos 675.180^{\circ}-i\sin675.180^{\circ}=-1$ .
Bijgevolg is de gevraagde uitdrukking gelijk aan -2.

Nootje 55

Geplaatst op 27 maart 2025 door admin

Bepaal de oppervlakte van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan $\frac{1}{2}8^2=32$ vierkante centimeter.

De spiraal van Theodorus

Geplaatst op 19 maart 2025 door admin

De spiraal van Theodorus wordt opgebouwd uit een reeks rechthoekige driehoeken. Het begint met een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de beide rechthoekszijden lengte 1 hebben. Vervolgens wordt een nieuwe rechthoekige driehoek toegevoegd, waarbij één rechthoekszijde de vorige schuine zijde is en de andere rechthoekszijde terug lengte 1 heeft. Dit proces wordt herhaald. De figuur die zo ontstaat noemt men de spiraal van Theodorus, genoemd naar de Griekse wiskundige Theodorus van Cyrene die leefde in de 5de eeuw voor Christus.

Hij hield op bij de driehoek met hypotenusa $\sqrt{17}$ , vermoedelijk omdat dat de laatste is die niet een vorige driehoek overlapt.

Het is duidelijk dat via de stellig van Pythagoras de lengten van de schuine zijden van deze driehoeken de vierkantswortels zijn van opeenvolgende natuurlijke getallen. Vandaar dat men deze spiraal ook wel eens wortelspiraal noemt.

Bewijzen met verhaaltjes

Geplaatst op 15 maart 2025 door admin

Deze bewijstechniek bestaat er in ‘een verhaaltje te vertellen.

Stel ik wil volgende formule “bewijzen”: voor $n\geq p\geq 2$

$p(p-1)\binom{n}{p}=n(n-1)\binom{n-2}{p-2}$

Je zou natuurlijk, gebruikmakend van de definitie van de binomiaalgetallen, beide leden kunnen uitrekenen, en vaststellen dat beide resultaten hetzelfde zijn. Maar proberen we dit eens anders in te kleden. Je hebt binnen een politieke partij n kaderleden, waaruit je een dagelijks bestuur van p personen moet kiezen, met hierin een voorzitter en een ondervoorzitter. Dit kan je doen op twee manieren :

Kies eerst p personen. Dit kan op $\binom{n}{p}$ . Kies hier uit een voorzitter: p mogelijkheden. Kies dan een ondervoorzitter: p – 1 mogelijkheden. Samen geeft dit dus, als aantal mogelijkheden:
$p(p-1)\binom{n}{p}$
Maar je kan eerst een voorzitter kiezen uit de n kaderleden. Dit kan je op n mogelijkheden. Kies vervolgens een ondervoorzitter: n – 1 mogelijkheden. Kies tenslotte nog p-2 ander personen om je dagelijks bestuur te vervolledigen. dit kan op $\binom{n-2}{p-2}$ manieren. Zo krijg je in het totaal als mogelijkheden:
$n(n-1)\binom{n-2}{p-2}$