Nootje 58

Geplaatst op 27 juni 2025 door admin

In een rechthoekige driehoek met zijden 3,4 en 5 teken je de ingeschreven cirkel en een cirkel die daaraan raakt en ook raakt aan twee zijden van de driehoek, zoals in onderstaande tekening. Bepaal de straal van de kleinste cirkel.

Antwoord

Noem R de straal van de ingeschreven cirkel, dan moet $3-R+4-R=5$ , omdat raaklijnen getrokken aan een cirkel uit een bepaald punt, even lang zijn. Dus is $R=1$ .
Noem r de straal van de kleine cirkel.
De aangegeven afstand vind je ofwel via de stelling van Pythagoras ofwel via de gelijkvormigheid van driehoeken.
Dan is $1+r+\sqrt{10}r=\sqrt{10}$ , waaruit volgt dat
$r=\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}$

De 72 regel

Geplaatst op 24 juni 2025 door admin

In de wereld van persoonlijke financiën en beleggen is er één eenvoudige regel die je kan helpen beter te begrijpen hoe snel je geld groeit: de 72-regel. Geen ingewikkelde formules of moeilijke rekensommen – enkel een handig geheugensteuntje dat verrassend accuraat is.

De 72-regel is een vuistregel die je vertelt hoeveel jaar het duurt voordat een investering verdubbelt, gegeven een vast jaarlijks rentepercentage (of rendement). De formule is simpel:

Aantal jaren tot verdubbeling = 72 ÷ jaarlijks rendement (%)

Bijvoorbeeld:

Als je een rendement van 6% per jaar behaalt, dan verdubbelt je geld ongeveer in:

72 ÷ 6 = 12 jaar

Bij een rendement van 9%:

72 ÷ 9 = 8 jaar

De regel is gebaseerd op het principe van samengestelde rente – rente op rente. In plaats van alleen rente op je oorspronkelijke bedrag te ontvangen, ontvang je ook rente op de eerder ontvangen rente. Na verloop van tijd leidt dit tot exponentiële groei.

De formule voor samengestelde rente is
$K=K_0(1+i)^n$
Hierbij is $K_0$ het beginkapitaal en $K$ het kapitaal na n jaar. De tijd nodig om het kapitaal te verdubbelen wordt dan gegeven door volgende vergelijking op te lossen :
$2K_0=K_0(1+i)^n$
of
$n=\dfrac{\log 2}{\log(1+i)}$

Nemen we bijvoorbeeld $i=6%$ , dan geeft de 72 regel een verdubbelingstijd van 12 jaar, terwijl de exacte waarde gelijk is aan 11,9.

Valbeweging

Geplaatst op 19 juni 2025 door admin

Schrijf een Python programma dat de beweging bestudeert van een bal die wordt opgegooid met een bepaalde beginsnelheid.

De linspace functie genereert 1001 coordinaten tussen 0 en 1. De waarde is een array die wordt gestockeerd in t . Het resultaat van het programma is:

Nootje 57

Geplaatst op 13 juni 2025 door admin

Een getal van 5 cijfers is een veelvoud van 41. Als het meest links geschreven cijfer helemaal achteraan wordt geplaatst en dus het laatste cijfer wordt, dan is het nieuwe getal een volkomen derde macht; Welk is het oorspronkelijk getal

Antwoord

Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
Dan is $x=a.10^4+b$ .
Nu moet dus $a.10^4+b=41m$ en $10b+a=k^3$ .
Omdat $k^3$ een getal is van 5 cijfers, zal $22 \leq k\leq 46$ .
Uit de tweede voorwaarde vinden we dat $a=k^3-10b$ . Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit $(k^3-10b).10^4+b=41m$ , of uitgewerkt:
$10^4k^3-99999b=41m$
41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet $k^3$ een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met $22 \leq k\leq 46$ volgt hieruit dat $k=41$ en $k^3=68921$ .
Het gevraagde getal is dus 16892

OEIS

Geplaatst op 4 juni 2025 door admin

In de wereld van wiskunde en informatica is er een schat aan patronen en rijen die ons omringen. Deze worden niet alleen bestudeerd voor hun intrinsieke schoonheid, maar ook voor hun praktische toepassingen in verschillende wetenschappelijke en technologische disciplines. Een van de meest waardevolle bronnen voor het ontdekken en begrijpen van deze rijen is de Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).

De OEIS, opgericht in 1964 door Neil Sloane( een Amerikaans wiskundige van Britse afkomst), is een uitgebreide online database van meer dan 350.000 rijen gehele getallen. Elke rij is zorgvuldig gedocumenteerd met zijn beginwaarden, een beschrijving van het patroon, mogelijke wiskundige verklaringen en vaak voorkomende toepassingen. Wat begon als een persoonlijk project van Sloane, is uitgegroeid tot een onschatbare bron voor wiskundigen, informatici en liefhebbers van getallenreeksen wereldwijd. De eerste versie van OEIS stond op ponskaarten. De volgende verscheen in 1973 als boek met de titel A handboek of integer Sequences, met 2400 rijen. De editie van 1995 telde er 5487. De internet versie volgde in 1996 en sindsdien komen er jaarlijks ongeveer 10000 rijen bij.

Enkele rijen uit de OEIS:

Fibonacci-rij (A000045):
$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots$
De Fibonacci-reeksijtwee voorgaande getallen. Deze reeks vindt toepassingen in natuurlijke fenomenen, zoals de rangschikking van bloemblaadjes in bloemen en de groei van populaties.
Priemgetallen (A000040):
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots$
De rij van priemgetallen bevat getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Ze vormen de bouwstenen van moderne cryptografie en hebben diepgaande implicaties voor de informatieveiligheid.
De rij van de gelukkige getallen (A0077700)

Een gelukkig getal is een getal waarbij, als je de som van de kwadraten van zijn cijfers herhaaldelijk neemt, je uiteindelijk op 1 uitkomt. Bijvoorbeeld:
- 19 → 1² + 9² = 82
- 8² + 2² = 68
- 6² + 8² = 100
- 1² + 0² + 0² = 1
Ze worden “gelukkig” genoemd omdat ze eindigen in 1 in plaats van in een eindeloze cyclus. Deze reeks heeft een verrassende aantrekkingskracht en is ook populair bij programmeeroefeningen.
$1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, \dots$
Een verbazingwekkend patroon: je beschrijft het vorige getal.
- “1” wordt “één 1” → 11
- “11” wordt “twee 1-en” → 21
- “21” wordt “één 2, één 1” → 1211, enzovoort.
Deze rij groeit snel en werd populair gemaakt door John Conway, die ook interessante eigenschappen aantoonde, zoals het feit dat alle getallen asymptotisch vervallen in “atomen” — vaste bouwstenen.
$1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, \dots$
Dit zijn getallen die je krijgt als je punten neerzet in de vorm van een hexagonale rasterstructuur met concentrische ringen eromheen. Ze komen voor in wiskundige kunst, kristallografie en zelfs in bordspellen zoals Settlers of Catan!

Bezoek oeis.org en probeer zelf een rij zoals 3, 6, 12, 24, 48... in te voeren. Grote kans dat je ontdekt welk patroon daarachter zit — of dat iemand anders het al eerder heeft gezien, onderzocht en vastgelegd. Een deel van het antwoord vind je hieronder.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: juni 2025