Het Wythoff spel

Geplaatst op 22 september 2025 door admin

Het Wythoff-spel is een dat gespeeld wordt door twee speler en met twee stapels fiches. Een speler mag bij elke beurt:

1. een willekeurig aantal stenen van één stapel nemen, of
2. een gelijk aantal stenen van beide stapels nemen.

De speler die de laatste fiche(s) neemt, de winnaar is. Het spel is in 1907 beschreven door de Nederlandse wiskundige Willem Abraham Wythoff.

De verliezende (of V-posities) zijn de posities waarvan de speler die aan de beurt is niet kan winnen als de tegenstander perfect speelt. Alle andere posities zijn winnende (W-posities), want de speler kan naar een P-positie bewegen.

Een V-positie is een stand waarvan de speler die aan de beurt is altijd verliest als de tegenstander perfect speelt.Vanuit een V-positie mag je dus niet naar een andere V-positie kunnen zetten. Vanuit elke andere positie (W-positie) moet er minstens één zet zijn die naar een V-positie leidt.

Schrijf je huidige positie als $(m, n)$ met $m \leq n$ . We beginnen vanaf $(0, 0)$ (triviaal: het spel is voorbij, dat is een V-positie). Daarna kunnen we systematisch de volgende V-posities construeren;

(1,2) is een V-positie ( en dus ook (2,1)), dus de speler die aan zet is in (1,2) verliest als de tegenstander perfect speelt. Met andere woorden: als jouw tegenstander een zet doet en jou achterlaat met (1,2), dan kun jij niet winnen (mits de tegenstander vanaf dat moment foutloos speelt).

Waarom? Kijk naar álle mogelijke zetten vanuit (1,2):

Neem uit stapel 1: 1 steen → (0,2).
Dan kan de volgende speler meteen alle 2 stenen uit stapel 2 nemen → (0,0) en wint.
Neem uit stapel 2: 1 steen → (1,1).
Dan kan de volgende speler 1 van beide stapels nemen → (0,0) en wint.
Neem uit stapel 2: 2 stenen → (1,0).
Dan neemt de volgende speler 1 uit stapel 1 → (0,0) en wint.
Neem gelijk uit beide stapels: 1 van elk → (0,1).
Dan neemt de volgende speler 1 uit stapel 2 → (0,0) en wint.

In álle gevallen kan de tegenstander direct naar $(0, 0)$ spelen en daarmee winnen. Dus vanuit (1,2) bestaat geen zet naar een andere V-positie — dat is precies wat een V-positie is.

De andere verliezende posities $(a_k,b_k)$ zijn (3,5), (4,7), (6,10), (8,13), (9,15), … In onderstaande tekening zijn de verliesposities aangegeven door een P en de winstposities met een N.

Stel dat je start met een verdeling van (5,6) munten en je bent eerst aan zet. Zorg ervoor dat je de dichtbij zijnde verliespositie, met getallen kleiner of gelijk aan 5 en 6, neemt door 3 munten van de tweede hoop te nemen. De tegenstrever ontvangt de verliespositie (5,3) en kan geen kant meer uit. Jij wint! Beter was nog om van elke hoop 4 munten te nemen om zo uit te komen op de verliespositie (1,2).

Sommen van machten

Geplaatst op 14 september 2025 door admin

We kennen allemaal het verhaal van Gauss om de som van de eerste n natuurlijke getallen te berekenen. Gauss berekende deze som door de reeks in paren te verdelen en te bedenken dat elk paar dezelfde som heeft, wat een efficiënte manier bood om de totale som snel te vinden.

In bijgevoegde tekst gaan we op zoek naar een algemenere methode waarbij we ook de som kunnen berekenen van de n natuurlijke tweede, derde , vierde en vijfde machten .

De 2 enveloppenparadox

Geplaatst op 10 september 2025 door admin

Er zijn twee enveloppen. In de ene zit een bedrag $X$ , in de andere $2 X$ . Je kiest willekeurig een envelop.Vervolgens krijg je de mogelijkheid om te wisselen naar de andere envelop. De vraag is: is het rationeel om te wisselen, of maakt het niet uit?

Stel je kiest een envelop en opent die. Er zit bedrag Y in. Met kans 50% heb je de kleinere envelop, de andere bevat dan 2Y. Met kans 50% heb je de grotere envelop, de andere bevat $\frac{1}{2}Y$

De verwachte waarde van de andere envelop lijkt dan: E=0,5.2Y+0,5. $\frac{1}{2}Y$ = $\frac{5}{4}Y$

Dus zou de andere envelop gemiddeld meer waard zijn. Dit suggereert dat je altijd beter af bent door te wisselen. Maar dat kan niet kloppen, want symmetrie: beide spelers kunnen redeneren dat ze moeten wisselen, en toch kan niet iedereen altijd winnen.

De bovengenoemde redenering berust op een denkfout. Weliswaar is de winst 100% in het ene geval en het verlies 50% in het andere, maar het betreft percentages van (stochastisch gezien) verschillende bedragen en absoluut gezien gaat het om hetzelfde bedrag. Op tafel liggen namelijk enveloppen met respectievelijk X zeg 1000 euro, en 2X, dus 2000 euro. Wisselen levert in het ene geval een winst van 100% van X, dus 1000 euro op, en in het andere geval een verlies van 50% van 2X, dus ook 1000 euro op. Het verwachte voordeel bij wisselen is dus 0. Er is geen winnende strategie.

Nootje 61

Geplaatst op 5 september 2025 door admin

Bereken de oppervlakte van onderstaand vierkant

Antwoord

Met $\left[CDF\right]$ bedoelen we de oppervlakte van de driehoek CDF.
$\left[CDF\right]=27+\left[FGH\right]$ en dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
Verder is ook $\left[BCF\right]+\left[ADF\right]=5+15+7+\left[DEH\right]=27+\left[DEH\right]$ en ook dit is de helft van de oppervlakte van het vierkant ABCD.
Uit vorige twee punten vinden we dat $\left[FGH\right]=\left[DEH\right]$ . Noteer deze oppervlakten door X zoals te zien is op bovenstaande tekening.
Verbind B met D.
$\left[ABD\right]$ is de helft van de oppervlakte van ABCD en dus is $\left[ABD\right]=27+X$ . Verder is $\left[ABE\right]=12+X$ , $\left[BDE\right]=27+X-12-X=15$ en $\left[BDH\right]=15-X$ . Gelijkaardig is $\left[BDF\right]=20$ .
Gebruik nu de ladderstelling in driehoek ABD:
$\frac{1}{\left[ABD\right]}+\frac{1}{\left[BDH\right]}=\frac{1}{\left[BDE\right]}+\frac{1}{\left[BDF\right]}$
Dit geeft:
$\frac{1}{27+X}+\frac{1}{15-X}=\frac{1}{15}+\frac{1}{20}$
Als je dit uitrekent vind je $X^2+12X-45=(X-3)(X+15)=0$ . Dus is $X=3$ .
De oppervlakte van het vierkant is dan $2.(27+X)=60$ .

De schoenvetermethode

Geplaatst op 3 september 2025 door admin

De schoenveterformule is een rekenmethode om de oppervlakte van een veelhoek te bepalen wanneer de coördinaten van de hoekpunten bekend zijn. De methode wordt zo genoemd omdat de berekening lijkt op het kruislings strikken van veters: de coördinaten van de punten worden in een tabel onder elkaar gezet, en er worden kruisvermenigvuldigingen gemaakt die visueel doen denken aan een veterpatroon.

Stel dat we een veelhoek hebben met hoekpunten $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$ die in volgorde (met de klok mee of tegen de klok in) gegeven zijn.

De oppervlakte $A$ wordt berekend met:

$A=\frac{1}{2}\Big|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\Big|$

waarbij $(x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)$ , (met andere woorden: het eerste punt wordt na het laatste punt herhaald om de lus te sluiten).

Stappen van de methode

Schrijf de coördinaten van de punten onder elkaar, en herhaal de eerste rij onderaan.
Vermenigvuldig kruiselings:
- van linksboven naar rechtsonder, en tel deze producten op;
- van rechtsboven naar linksonder, en tel deze producten op.
Trek de tweede som af van de eerste som.
Neem de absolute waarde en deel door 2.

Stel, we hebben een driehoek met punten: De tabel wordt:

De oppervlakte van de driehoek is dus A= $\frac{1}{2}|(3.11+5.8+12.4)-(4.5+11.12+8.3)|=27,5$ .

De formule is gebaseerd op de wiskundige theorie van determinanten (ontwikkeld door Leibniz en Cramer in de 17e-18e eeuw).

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: september 2025