Hadamard matrix

Geplaatst op 22 oktober 2025 door admin

Een Hadamard matrix is een vierkante matrix met alleen maar 1 of -1 als elementen en zodat elk tweetal kolommen ( of rijen) loodrecht op elkaar staan ( de som van de producten op de zelfde rij is nul). Een Hadamard matrix is dus een vierkante orthogonale matrix met elementen 1 en -1. Hij is vernoemd naar de Franse wiskundige J. Hadamard(1865-1963).

Er kan niet voor elke willekeurige orde $n$ een Hadamard matrix bestaan. Een noodzakelijke voorwaarde is dat de orde $n$ gelijk moet zijn aan 1, 2 of een veelvoud van 4. De grote open vraag in de wiskunde, bekend als het Hadamard-vermoeden, is: Bestaat er een Hadamard-matrix voor elke orde $n$ die een veelvoud van 4 is? Tot nu toe is er nog geen tegenvoorbeeld gevonden, maar een algemeen bewijs ontbreekt nog steeds. De kleinste orde $n$ waarvoor het bestaan van een Hadamard-matrix nog niet is bewezen of weerlegd, is $n=668$ .

In de telecommunicatie en informatietheorie worden Hadamard-matrices gebruikt om foutcorrectiecodes te construeren, zoals de Reed-Muller-codes. De orthogonaliteit van de rijen maakt het mogelijk om verzonden signalen ondanks ruis betrouwbaar te decoderen, omdat de verschillende ‘woorden’ (rijen van de matrix) zo ver mogelijk van elkaar verwijderd zijn. Dit is cruciaal voor bijvoorbeeld de CDMA-techniek (Code Division Multiple Access) in mobiele netwerken.

Jurassic fractaal of drakenkromme

Geplaatst op 19 oktober 2025 door admin

De Drakenfractaal werd onafhankelijk ontdekt door de natuurkundigen John Heighway en Bruce Banks, en later grondiger geanalyseerd door de wiskundigen Chandler Davis en Donald Knuth in 1967. De roman Jurassic Park (1990) bevat illustratiesvan de iteraties van de Drakenfractaal tussen de hoofdstukken. Deze afbeeldingen dienen als visuele representatie van de theorieën die in het verhaal worden besproken.

De Jurassic fractaal wordt vaak gedefinieerd met een iteratieve regelsysteem (L-systeem, of Lindenmayer-systeem). Zo’n systeem bestaat uit:

een axioma (de startregel): F = teken een lijn
en productieregels die bepalen hoe elke stap verandert: F+F-F-F+F, met + draai rechts en – draai links.

Door dit proces herhaald toe te passen (itereren), groeit een steeds complexere, grillige vorm — dat is de fractaal.

Nootje 63

Geplaatst op 16 oktober 2025 door admin

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Antwoord

Passen we twee maal de cosinus regel toe en maken we gebruik van $\cos 60^{\circ}=0,5$ en $\cos 120^{\circ}=-0,5$ .
$1=y^2+d^2-yd$
$1=x^2+d^2+xd$
Als we die vergelijkingen van elkaar aftrekken vinden we dat $0=(y^2-x^2)-(y+x)d$ . Hieruit volgt dat $d=y-x$ .
Vullen we dit terug in bij de eerste vergelijking dan is $1=y^2+d^2-y(y-x)$ .
Uitwerken geeft $1=d^2+xy$ of $1=(y-x)^2+xy=x^2-xy+y^2$ .
De gevraagde uitdrukking is dus gelijk aan 1.

Gemiddelde waarde van een getal

Geplaatst op 8 oktober 2025 door admin

We definiëren de gemiddelde waarde a(n) van een getal nl als de verhouding van de som van de cijfers van het getal tot het aantal cijfers van dat getal.

Zo is $(a(47)=\frac{4+7}{2}=5,5$ , $a(123)=\frac{1+2+3}{3}=2$ en $a(999)=\frac{9+9+9}{3}=9$ .

Enkele eigenschappen:

$1\leq a(n)\leq 9$ , want de kleinst mogelijke som van de cijfers is 1 ( bvb 100000) en de grootste mogelijke som is 9k ( bvb 9999….9; k negens).
$a(n)$ kan alleen maar waarden aannemen van de vorm $\frac{k}{d}$ , waarbij d het aantal cijfers van n is en $1\leq k \leq 9d$ .
Voor grote getallen met veel cijfers geldt dat de cijfers gemiddeld zijn. Met andere woorden: voor grote getallen “concentreert” de rij $a(n)$ zich rond 4,5. De rij $a(n)$ zelf heeft geen limiet, want er zijn altijd getallen waarvoor $a(n)$ $)$ dicht bij 1 (bv. ) of dicht bij 9 (bv. ) komt.
De grafiek van de rij $a(n)$ vertoont de typische zaagtand-structuur zien: binnen elk blok van getallen met hetzelfde aantal cijfers stijgt $a(n)$ vaak wanneer je de cijfers optelt, en bij overgang naar een nieuw aantal cijfers valt $a(n)$ scherp terug (bv. bij 99→100 of 999→1000). Voor grotere

Een histogram voor de eerste 100000 getallen n :
Een interessante vraag zou ook zijn : wanneer is $a(n)$ een natuurlijk getal? Uiteraard als het getal n bestaat uit 1 cijfer. Je krijgt ook een leuk resultaat als n een getal is van 3 cijfers? Dan is $a(n)$ natuurlijk als de som der cijfers deelbaar is door 3. Maar dan is n zelf ook deelbaar door 3.

Nootje 62

Geplaatst op 2 oktober 2025 door admin

$f(1)=0$ en $f(x)=x+f(x-1) ,x \in \mathbb{N}$ . Bereken $f(100)$ .

“Antwoord”

We weten dat $f(x)-f(x-1)=x$ voor alle natuurlijke getallen x. We schrijven deze formule op voor x van 1 tot n:
$f(1)-f(0)=1$ .
$f(2)-f(1)=2$ .
$f(3)-f(2)=3$ .
…
$f(n)-f(n-1)=n$ .
Als we alles bij elkaar optellen, zien we in het linkerlid bijna alle termen tegen elkaar wegvallen en we behouden $f(n)-f(0)=1+2+3+...+n$ .
Nu is $f(0)=1$ en de som in het rechterlid is $\frac{1}{2}n(n+1)$ .
Bijgevolg is $f(n)=\frac{1}{2}n(n+1)+1$ en
$f(100)=\frac{1}{2}100.101 +1=5051$

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: oktober 2025

Hadamard matrix

Jurassic fractaal of drakenkromme

Nootje 63

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

Gemiddelde waarde van een getal

Nootje 62

$f(1)=0$ en $f(x)=x+f(x-1) ,x \in \mathbb{N}$ . Bereken $f(100)$ .

Bereken als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

en . Bereken .

Bereken $x^2-xy+y^2$ als de diameter van de cirkel gelijk is aan 2.

$f(1)=0$ en $f(x)=x+f(x-1) ,x \in \mathbb{N}$ . Bereken $f(100)$ .