pi en de sommen van twee kwadraten

Geplaatst op 28 november 2025 door admin

Het aantal mogelijkheden om een natuurlijk getal n als een som van twee kwadraten van gehele getallen te schrijven hangt af van de aard van zijn ontbinding in factoren. Zij $n \in \mathbb{N}_0$ en stel dat $r_2(n)$ het aantal oplossingen is in $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ van de vergelijking $x^2+y^2=n$ .

$65=(\pm1)^2+(\pm8)^2=(\pm8)^2+(\pm1)^2=(\pm4)^2+(\pm7)^2=(\pm7)^2+(\pm4)^2$ , dus $r_2(65)=16$

Nu is elk priemgetal van de vorm $4k+1$ op slechts juist 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Bovendien is er geen priemgetal van de vorm $4k+3$ dat de som is van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Men kan nu bewijzen dat:

$r_2(n)=4(A_n-B_n)$

Hierbij stel $A_n$ het aantal delers voor van n die gelijk zijn aan 1 modulo 4 en $B_n$ het aantal delers van n die gelijk zijn aan 3 modulo 4.

Controleren we dit even voor $n=65$ . De delers van 65 zijn $\{1,5,13,65\}$ . Alle vier de delers van 65 zijn gelijk aan 1 modulo 4, dus $A_{65}=4$ en $B_{65}=0$ . Onze formule geeft dan dat $r_2(65)=4(4-0)=16$ , wat overkomt met de waarneming hierboven.

Met $R_2(n)$ bedoelt men de som van alle $r_2(k)$ met $k\in \mathbb(N}$ en $0\leq k\leq n$ . Zo is $R_2(5)=r_2(0)+r_2(1)+r_2(2)+r_2(3)+r_2(4)+r_2(5)=14+4+0+4+8=21$ . Men kan eenvoudig zien dat $R_2(n$ het aantal roosterpunten voorstelt binnen of op de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=n$ . Als men rond elk roosterpunt een vierkantje tekent met zijde 1, dan kan je gemakkelijk zien dat

$R_2(n)\approx n\pi$

Het voorbeeld van $n=5$ geeft volgende tekening:

Je kan het aantal roosterpunten tellen binnen of op de cirkel met straal $\sqrt{5}$ en men bekomt inderdaad 21. De oppervlakte van de cirkel is $\pi (\sqrt{5})^2=5\pi \approx 16$ en dat is een benadering van het resultaat 21. Hoe hoger n hoe beter de benadering.

Hieronder een Python programma voor de berekening van $r_2(n)$ voor n van 0 tot 20.

Nootje 66

Geplaatst op 21 november 2025 door admin

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

Antwoord

$(x+1)(y+1)(z+1)= xyz+xy+xz+yz+x+y+z+1$ , dus de opgegeven vergelijking is te herschrijven als $(x+1)(y+1)(z+1)-1=2025$ of
$(x+1)(y+1)(z+1)=2026=2026$
Nu kan je 2026 herschrijven als $1*1*2026$ of $1*2*1013$ .
Met de ontbinding $1*1*2026$ kan je 3 drietallen $(x,y,z)$ vormen.
Met de ontbinding $1*2*1013$ kan je $3!=6$ drietallen vormen.
Er zijn dus 9 drietallen die voldoen aan de gegeven vergelijking.

nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

Klok met verwisselde wijzers.

Geplaatst op 8 november 2025 door admin

Een klok werd om zes uur ‘s ochtends in werking gesteld, maar al snel zag men dat de minutenwijzer met de snelheid van de urenwijzer rondging terwijl de urenwijzer met de snelheid van de minutenwijzer ronddraaide. Wanneer geeft de klok voor het eerst weer de juiste tijd aan?

Dit is een bekende puzzel van Sam Loyd(1841-1911). Samuel Loyd was een Amerikaanse schaker, schaakcomponist, puzzelauteur en recreatief wiskundige.

De klok staat op 6:00, dus de kleine wijzer op 6, grote wijzer op 12. Bij een normale klok draait de urenwijzer 30° per uur = 0,5° per minuut en de minutenwijzer 360° per uur = 6° per minuut. Maar in deze klok draait de kleine wijzer draait 6° per minuut en de grote wijzer 0,5° per minuut. Bij de start staat de kleine wijzer (urenwijzer) staat op 180° en de grote wijzer (minutenwijzer) op 0°.

Na t minuten staat de kleine wijzer op graden en de grote wijzer op $0 + 0, 5 t$ graden. We willen het moment dat de klok weer een geldig tijdstip toont — dat wil zeggen: de wijzers staan op posities die overeenkomen met een echte tijd. In de echte klok geldt bij een echte tijd $t^{'}$ minuten na 6:00: kleine wijzer: rote wijzer: . We eisen dus :

Uit de tweede vergelijking halen we dat $t'=\frac{t}{12}$ . Invullen in de eerste vergelijking bekomen we $\frac{143}{24}t \equiv 0 \mod 360$ . De oplossing $t=0$ willen we natuurlijk niet, de eerstvolgende oplossing is $\frac{24}{143}360° \approx 60,42$ . Na ongeveer 1 uur en 25 seconden krijg je weer de exacte tijd.

Nootje 64

Geplaatst op 7 november 2025 door admin

“Antwoord”

Stel $\sqrt{\Frac{x+1}{x}}=n$ , dan is $n\geq 0$ en $\frac{x+1}{x}=n^2$ .
Dan is $1+\frac{1}{x}=n^2$ of $\frac{1}{x}=n^2-1$ .
De opgave wordt dan $n^2-1+n=5$ of $n^2+n-6=0$ .
Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft $n=2$ of $n=-3$ .
Omdat $n\geq 0$ blijft enkel over dat $n=2$ .
Uit $\frac{1}{x}=n^2-1$ . volgt dat $\frac{1}{x}=3$ of $x=\frac{1}{3}$ .

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: november 2025

pi en de sommen van twee kwadraten

Nootje 66

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

nootje 65

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Klok met verwisselde wijzers.

Nootje 64

Hoeveel drietallen niet-negatieve getallen (x,y,z) voldoen aan

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor priem is en een volkomen kwadraat is.

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.