Allemaal priemen

Geplaatst op 28 januari 2026 door admin

Een driehoek vol priemgetallen:

De stelling van Girard

Geplaatst op 25 januari 2026 door admin

Als p een priemgetal is van de vorm $4k+1$ , dan kan je p altijd schrijven als de som van twee kwadraten. Voorbeelden:

$5=1^2+2^2; 13=2^2+3^2; 17=1^2+4^2; 29=2^2+5^2$

Deze stelling staat bekend onder de naam van Albert Girard (11 okt 1595 – 8 dec 1632): een Frans-geboren wiskundige die het grootste deel van zijn werk in Leiden deed. Hij schreef o.a. over algebra en trigonometrie, gebruikte vroeg de afkortingen sin, cos, tan, dacht vroeg na over het idee dat een veelterm van graad $n$ precies $n$ wortels (reëel of “imaginair”) heeft, en hij gaf ook een formule voor de oppervlakte van een sferische driehoek.

Deze stelling krijgt zijn naam, omdat Girard dit al in 1625 expliciet noteerde (Fermat formuleerde later een bekende versie in een brief van 1640; Euler leverde in 1749 een eerste gepubliceerde bewijsvoering).

De priemgetallen die je als som van twee kwadraten kan schrijven, noemt men ook wel cirkelpriemen. Ze heten zo omdat $a^2+b^2=p$ precies betekent dat het roosterpunt $(a,b)$ op de cirkel met straal $\sqrt{p}$ ligt. $p=2$ is een cirkelpriem en verder zijn dus alle priemen van de vorm $4k+1$ cirkelpriemen. In $\mathbb{Z}(i)$ betekent $p=a^2+b^2$ dat je p kunt schrijven als $(a+bi)(a-bi)$ , dus zijn de cirkelpriemen juist de priemgetallen die in $\mathbb{Z}(i)$ niet priem blijven.

Puzzels met munten

Geplaatst op 22 januari 2026 door admin

Leg 10 munten als een driehoek en verplaats exact 3 munten zodat de driehoek omgekeerd staat ( met de punt naar beneden )
Antwoord
Verplaats precies de drie hoekmunten van de oorspronkelijke driehoek:
1. Verplaats de bovenste munt naar onderaan (nieuw punt).
2. Verplaats de linker onderste hoek naar linksboven van de “nieuwe” omgekeerde driehoek (één rij hoger dan de oude basis).
3. Verplaats de rechter onderste hoek analoog naar rechtsboven.
Alle andere 7 munten liggen al goed (de omgekeerde driehoek overlapt 7 posities met de oorspronkelijke).
Leg 15 munten op een rij, allemaal kop.
Een zet: kies 3 opeenvolgende munten en draai ze om (kop↔munt).
Kan je eindigen met precies één munt op “munt” en de rest kop?
Spoiler
Nummer de posities $1, 2, \dots, 15$ . Bekijk drie “klassen”:
- klasse A: posities (≡ 1 mod 3)
- klasse B: posities $4$ (≡ 2 mod 3)
- klasse C: posities (≡ 0 mod 3)
Laat de pariteit zijn (even/oneven) van het aantal munten in elke klasse.

Als je 3 opeenvolgende munten omdraait, dan draai je exact één munt uit A, één uit B en één uit C om. Dus in één zet wisselt elke pariteit: $S_{A}$ , $S_{B}$ , $S_{C}$ Daarom blijven de verschillen invariant: (Start: alles kop ⇒ $0$ ⇒ en
Dus altijd geldt Maar bij exact één muntis precies één van gelijk aan 1 en de andere 0 — dus niet allemaal gelijk. Onmogelijk.

Wiskunde en tennis

Geplaatst op 18 januari 2026 door admin

In 1985 werd de damesfinale op Roland-Garros door Chris Evert van Marina Navratilova gewonnen met 6-3,6-7 en 7-5. Stel dat er acht service-breaks waren, wie serveerde dan laatst?

Noem de winnares van de match A (ze wint set 1 en 3) en de andere speelster B.
Het totaal aantal servicegames is 9 + 13 + 12 -1 = 33 ( de tiebreak is set 2 is wel een game , maar geen servicegame.
Als A de allereerste game van de match serveert, dan serveert ze in totaal 17 servicegames (en B 16). Als B eerst serveert, dan serveert A 16 en B 17. (Omdat er 33 servicegames zijn.)
$Noteer : x$ = aantal servicegames van A, $a$ = aantal keren dat A haar opslag verliest (A wordt gebroken), $b$ = aantal keren dat B haar opslag verliest (B wordt gebroken).
Nu weten we dat $a + b = 8$ .
A wint 19 games. Die komen van $x - a$ ( de keren dat a haar opslag behoudt) en $b$ ( het aantal keren dat A door de opslag van B breekt).
Dan geldt: $19=x-a+b=x-a+8-a=x+8-2a$ ofwel $x=11+2a$
Nu kan x enkel de waarde 16 of 17 aannemen. Omdat a geheel moet zijn kan enkel $x=17$ en dan is $a=3$ en $b=5$ .
A moet 17 keer hebben opgeslagen, dus A serveerde als eerste in de match.
Set 1 heeft 9 games (oneven) , dus de startserver van set 2 wisselt. Set 2 eindigt met tiebreak, bijgevolg is de startserver van set 3 opnieuw dezelfde als in set 1.
Dus set 3 begint met A aan opslag. Set 3 heeft 12 games (even), dus de laatste (12e) game wordt geserveerd door de andere speelster.
Navratilova serveerde als laatst (de speelster die de match verloor serveerde de laatste game, en werd daar gebroken)

Wiskunde en Chatgpt 5.2

Geplaatst op 11 januari 2026 door admin

De voorbije dagen wees Terence Tao erop dat er op de Erdős Problems-website een mijlpaal is bereikt: een open probleem van Erdős (nummer #728) kreeg een oplossing waarbij AI-tools een opvallend grote rol speelden — en de kernstelling werd bovendien formeel geverifieerd in Lean.

Lean is een bewijsassistent : software waarmee je wiskundige definities, stellingen en bewijzen zó precies opschrijft dat de computer stap voor stap kan controleren of alles logisch klopt.

Wat doet Lean concreet?

Het definieert objecten: groepen, ringen, verzamelingen, limieten, enz.
Het formuleert een stelling in formele taal.
Het schrijft een bewijs als een reeks kleine logische stappen (tactieken of termen).
Lean accepteert het bewijs alleen als elke stap geldig is volgens de logica én volgens de eerder gedefinieerde begrippen.

Als Lean “QED” bereikt, betekent dat: het bewijs is formeel correct binnen het systeem.

De status op de probleem-pagina is ondertussen:

PROVED (LEAN) – opgelost en het bewijs is in Lean geverifieerd.

Concreet vermeldt de pagina dat Kevin Barreto en ChatGPT-5.2 bewezen hebben dat er (zelfs vrij “symmetrische”) oplossingen bestaan.

En wat is nu juist de rol geweest van Chatgpt?

Een informeel argument werd gegenereerd met een taalmodel (GPT-5.2/ChatGPT-5.2).
Dat argument werd vervolgens geformaliseerd in Lean met hulp van een automatische formaliserings-/theorem-proving tool (“Aristotle” wordt expliciet genoemd), waarna anderen konden nakijken of de formele statement klopt.
Daarna volgden er menselijke controles: klopt de formulering, hoe zit het met trivialiteiten, en is er eerdere literatuur (bv. Pomerance) die verwant is?

Dat laatste is cruciaal: een Lean-check geeft heel veel zekerheid dat de formele proof correct is voor de exacte formele stelling — maar je wil nog steeds menselijke zorg voor (i) interpretatie van het “bedoelde” probleem en (ii) correcte situering in bestaande literatuur.

In de thread maakt Tao een heel didactisch punt: wiskunde gaat niet enkel om een proof-object, maar om begrip. Een AI kan een technisch correcte redenering produceren, maar het “rondmaken” — motivering, context, why-this-works, verbanden met eerdere resultaten — blijft essentieel. AI speelde een hoofdrol in het produceren van een bruikbaar argument en in (semi-)automatische formaliseringsstappen, maar het geheel gebeurde in een community-proces met menselijke controle, discussie over interpretatie, en aandacht voor literatuur.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: januari 2026