Maandelijks archief: februari 2026

Priemgetallen en Gilbreath

Geplaatst op door

Sommige vermoedens in de getaltheorie zijn zo eenvoudig dat je ze in één minuut kunt uitleggen—en toch blijft een bewijs decennia (of eeuwen) buiten bereik. Het vermoeden van Gilbreath is zo’n voorbeeld.

In 1958 krabbelde de Amerikaanse wiskundige en goochelaar Norman Gilbreath(1936-) iets op een servetje en vond vervolgens een verbijsterende hypothese over priemgetallen:

Neem een rij opeenvolgende priemgetallen vanaf 2 en schrijf onder elk opeenvolgend tweetal de absolute waarde van hun verschil. In de derde rij neem je weer de positieve verschillen tussen opeenvolgende getallen, enzovoort. Gilbreaths vermoeden is dat elke rij vanaf de tweede begint met het getal 1.

Alle priemen behalve de eerste  zijn  oneven, dus de verschillen in de tweede rij  zijn vrijwel altijd even. Dat verklaart waarom je veel 0’s en 2’s ziet in latere rijen. Maar “alles is meestal even” dwingt helemaal niet af dat het allereerste element in élke volgende rij precies blijft. Dat is het mysterieuze, hardnekkige deel. François Proth observeerde het al in de 19e eeuw; Norman L. Gilbreath maakte het in 1958 bekend (vandaar soms “Proth–Gilbreath”) en tot op heden is er nog geen bewijs van gevonden. Het patroon is zeer ver gecontroleerd door middel van computerberekeningen.  Odlyzko had het in 1993 gecontroleerd voor alle priemen tot 10^{13}

Nootje 69

Geplaatst op door

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

 

Antwoord

  • Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren e_i+1 waarbij e_i de exponent is van een priemfactor p_i in de ontbinding in factoren.
  • Omdat 6=6\times 1 of 6=3\times 2, is het gezochte getal x van de vorm p^5 of p^2q.
  • Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan x=2^2q en x+1=3^2r.
  • Hieruit volgt dat 4q+1=9r; De kleinste waarde ( q=2 kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is p=11 en r=5. 
  • Bijgevolg is x=44.
  • Als je x+1 van de vorm p^5 neemt vind je ook snel een oplossing: x+1=3^5=243, dan is x=242=2\times 11^2. Dus 242 is ook een oplossing

Round-robin: iedereen tegen iedereen

Geplaatst op door

Een round-robin (competitieschema “iedereen tegen iedereen”) is een formaat waarbij elke deelnemer precies één keertegen elke andere speelt (single round robin). Met heen-en-terug speel je twee keer tegen iedereen (double round robin).

Als er n ploegen zijn, dan  zijn er \frac{n(n-1)}{2} wedstrijden. Als n even is zijn er n-1 rondes en per ronde zijn er dan \frac{n}{2} wedstrijden. Als n oneven is , voeg je een “lege” ploeg bij. zo heb je dan een even aantal ploegen en worden er dus n ronden gespeeld. Als je tegen de “lege” ploeg speelt dan ben je BYE.

Hoe kan je nu zo een schema opstellen? Zet de teams in een “kring”, maak per ronde vaste overkant-paren, en draai na elke ronde alle teams door (behalve één “anker”).

Een voorbeeld met 6 teams: A,B,C,D,E,F:

 

We schrijven ze in twee rijen tegenover elkaar:

Ronde 1 – opstelling

  • Boven: A B C

  • Onder: F E D

Wedstrijden (koppel tegenover elkaar):

  • A–F

  • B–E

  • C–D

Rotatieregel (de essentie)

  • A blijft staan (anker).

  • De andere 5 teams vormen een ring: B, C, D, E, F.

  • Na elke ronde schuift die ring één stap door (bijv. met de klok mee).

Dan krijg je:

Ronde 2

  • Nieuwe ring: F, B, C, D, E

  • Opstelling:

    • Boven: A F B

    • Onder: E D C

  • Wedstrijden:

    • A–E, F–D, B–C

Ronde 3

  • Ring: E, F, B, C, D

  • Wedstrijden:

    • A–D, E–C, F–B

Ronde 4

  • Ring: D, E, F, B, C

  • Wedstrijden:

    • A–C, D–B, E–F

Ronde 5

  • Ring: C, D, E, F, B

  • Wedstrijden:

    • A–B, C–F, D–E

✅ Na 6−1=5 rondes heeft iedereen iedereen precies één keer ontmoet.

 

Voor 8 teams heb je bvb volgende twee oplossingen:

Nootje 67

Geplaatst op door

Zoek een natuurlijk getal n zodat 4n+808 en 9n+1621 allebei volkomen kwadraten zijn.

 

Antwoord
  • Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat p^2=4n+808 en q^2=9n+1621.
  • Bereken nu 9p^2-4q^2. Dit geeft de waarde 788=2^2. 197.
  • Door ontbinding in factoren vinden we dat (3p-2q)(3p+2q)=2^2.197. 
  • Daaruit volgt dat (3p-q,3p+q)=(1,788) of (2,394) of (4,197).
  • Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we p=66 en q=98.
  • Dan vinden we dat n=887.