Nootje 72

Geplaatst op 28 maart 2026 door admin

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?

Antwoord

Noem de drie nulwaarden a,b en c.
Dan moet $a+b+c=87$ . Omdat 87 oneven is moeten van $a,b$ en $c$ er twee even en één oneven zijn ofwel moeten ze alle drie oneven zijn.
Verder moet $ab+ac+bc=181$ . Als er twee van de drie nulwaarden even zijn is het linkerlid zeker even en vermits het rechterlid oneven is, is dit onmogelijk.
Bijgevolg zijn de drie nulwaarden alle drie oneven. Stel $a=1+2d,b=1+2e$ en $c=1+2f$ .
Dan moet $(1+2d)(1+2e)+(1+2e)(1+2f)+(1+2f)(1+2d)=181$ . Uitgewerkt geeft dit:
$3+4(d+e+f+de+df+ef)=181$
Dus: $4(d+e+f+de+df+ef)=178$ . Dit is onmogelijk, want het linkerlid is een viervoud en het rechterlid niet.
Er is dus geen gehele waarde van k te vinden waarvoor de gegeven veelterm drie gehele nulwaarden heeft.

De paradox van de onverwachte overhoring

Geplaatst op 21 maart 2026 door admin

Een leerkracht zegt tegen de klas:

“Volgende week krijgen jullie een overhoring, en die zal onverwacht zijn.”

De leerlingen redeneren dan zo:

Op vrijdag kan de overhoring niet zijn, want als ze er tegen donderdag nog niet is geweest, dan weten we vrijdagmorgen zeker dat ze vrijdag komt. Dan is ze dus niet onverwacht.
Dus valt vrijdag weg.
Maar als vrijdag wegvalt, dan kan ze ook niet op donderdag zijn. Want als ze woensdag nog niet geweest is, weten we dat ze donderdag moet komen.
Zo schrappen ze ook woensdag, dinsdag en maandag.

Conclusie van de leerlingen:
zo’n onverwachte overhoring kan helemaal niet bestaan.

Maar dan geeft de leerkracht bijvoorbeeld op woensdag toch een overhoring, en de klas is wél verrast. Dus de overhoring is onverwacht!

Daar zit de paradox:
hun logische redenering lijkt correct, maar toch blijkt de overhoring onverwacht mogelijk.

Je kunt de paradox oplossen door “onverwacht” zwakker en realistischer te lezen:

De overhoring is onverwacht als de leerlingen ze in feite niet verwachten.

Dan is er geen probleem.

Want nadat ze zichzelf hebben overtuigd dat er géén onverwachte overhoring kan komen, verwachten ze er juist geen.
Dus als die op woensdag komt, is ze onverwacht in de gewone betekenis.

Vierkantswortel van een matrix

Geplaatst op 15 maart 2026 door admin

De vierkantswortel van een matrix

Voor een reëel getal $a \ge 0$ weten we wat een vierkantswortel is: dat is een getal $b$ waarvoor

$b^2=a.$

Bij matrices stellen we precies dezelfde vraag.

Definitie

Een vierkantswortel van een matrix $A$ is een matrix $B$ waarvoor

$B^2=A.$

Met andere woorden: als we $B$ met zichzelf vermenigvuldigen, krijgen we $A$ .

Hierbij moeten we meteen opletten dat de situatie bij matrices subtieler is dan bij gewone getallen:

een matrix kan geen vierkantswortel hebben;
een matrix kan meerdere vierkantswortels hebben;
een vierkantswortel is in het algemeen niet uniek.

Daarom is het vaak beter te spreken van een vierkantswortel van een matrix dan van de vierkantswortel.

Een eerste eenvoudig voorbeeld

Neem de diagonale matrix

$A=\begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix}.$

Dan is

$B=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix}$

een vierkantswortel van $A$ , want

$B^2= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix} =A.$

Maar ook

$\begin{pmatrix} -2&0\\ 0&3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}$

zijn vierkantswortels van $A$ .

Zelfs in dit eenvoudige geval is de vierkantswortel dus niet uniek.

De standaardmethode: diagonaliseerbare matrices

De berekening van een vierkantswortel wordt veel eenvoudiger wanneer de matrix diagonaliseerbaar is. Stel dat

$A=PDP^{-1},$

waarbij $D$ een diagonale matrix is:

$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n).$

Als we voor elke diagonaalwaarde $\lambda_i$ een getal $\mu_i$ kunnen kiezen zodat

$\mu_i^2=\lambda_i,$

dan is

$\sqrt{D}=\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n)$

een vierkantswortel van $D$ .

Daaruit volgt dan onmiddellijk een vierkantswortel van $A$ :

$B=P\sqrt{D}P^{-1}.$

Inderdaad,

$B^2=(P\sqrt{D}P^{-1})(P\sqrt{D}P^{-1}) = P(\sqrt{D})^2P^{-1} = PDP^{-1} = A.$

De strategie is dus:

bepaal de eigenwaarden van $A$ ;
diagonaliseer $A$ ;
neem de vierkantswortel van de diagonale matrix;
keer terug naar de oorspronkelijke basis.

Uitgewerkt voorbeeld

We bekijken de matrix

$A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}.$

We zoeken een matrix $B$ waarvoor

$B^2=A.$

Stap 1: eigenwaarden bepalen

Voor een matrix van de vorm

$\begin{pmatrix} a&b\\ b&a \end{pmatrix}$

zijn de eigenwaarden

$a+b \quad \text{en} \quad a-b.$

Hier krijgen we dus

$\lambda_1=5+4=9, \qquad \lambda_2=5-4=1.$

Stap 2: eigenvectoren bepalen

Bij $\lambda_1=9$ hoort bijvoorbeeld de eigenvector

$v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$

en bij $\lambda_2=1$ hoort

$v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$

We nemen dus

$P= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 9&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$

Dan geldt

$A=PDP^{-1}.$

Stap 3: de vierkantswortel van $D$

Een natuurlijke keuze is

$\sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$

Stap 4: teruggaan naar de oorspronkelijke basis

We berekenen

$B=P\sqrt{D}P^{-1}.$

Omdat

$P^{-1}=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix},$

volgt

$B= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}.$

Eerst vinden we

$P\sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix}.$

Dus

$B= \frac12 \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}.$

Stap 5: controle

Nu controleren we:

$\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}.$

Dus

$\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}$

is inderdaad een vierkantswortel van $A$ .

Niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel

Neem bijvoorbeeld

$A= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.$

Als we een reële diagonale vierkantswortel zouden willen nemen, dan zouden we een reëel getal $x$ nodig hebben met

$x^2=-1,$

en dat bestaat niet in $\mathbb{R}$ .

Dus niet elke reële matrix heeft een reële vierkantswortel. Vooral negatieve eigenwaarden kunnen problemen veroorzaken.

Het mooie geval: symmetrische positief-definiete matrices

Wanneer $A$ een symmetrische matrix is met strikt positieve eigenwaarden, dan bestaat er precies één symmetrische positief-definiete vierkantswortel. Die noemt men de hoofdvierkantswortel van $A$ .

In dat geval kan men schrijven

$A=QDQ^T,$

waarbij $Q$ orthogonaal is en $D$ diagonaal met positieve diagonaalelementen. Dan is

$\sqrt{A}=Q\sqrt{D}Q^T.$

Dit is de netjesste en meest natuurlijke situatie.

Besluit

Een vierkantswortel van een matrix $A$ is een matrix $B$ waarvoor

$B^2=A.$

Voor diagonaliseerbare matrices is de berekening conceptueel eenvoudig:

$A=PDP^{-1} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{A}=P\sqrt{D}P^{-1}.$

Men reduceert het probleem dus tot het nemen van vierkantswortels van de eigenwaarden.

Toch moeten we opletten:

de vierkantswortel is in het algemeen niet uniek;
niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel;
voor symmetrische positief-definiete matrices bestaat er wel een natuurlijke keuze.

Het uitgewerkte voorbeeld

$A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}$

laat mooi zien hoe eigenwaarden en diagonaliseerbaarheid leiden tot

$\sqrt{A}= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}.$

[/latexpage]

Nootje 71

Geplaatst op 10 maart 2026 door admin

13 zwarte kippen, 14 grijze kippen en 12 witte kippen leggen samen in twee weken 58 eieren.

11 zwarte kippen, 10 grijze kippen en 9 witte kippen leggen samen in drie weken 65 eieren.

Hoeveel eieren lebben 5 zwarte, 22 grijze en 15 witte kippen samen in 1 week?

Antwoord

We herleiden alles tot het leggen in 1 week en stellen met x,y en z het aantal eieren voor, door respectievelijk de zwarte, grijze en witte kippen gelegd in 1 week.
Met k noteren we het gezochte aantal eieren in 1 week.
$\begin{cases} 13x+14y+12z=29\\33x+30y+27z=65\\5x+22y+15z=k\end{cases}$
De determinant van dit stelsel is nul. De derde vergelijking is dus een lineaire combinatie van de eerste twee: $V_3=aV_1+bV_2$ .
Of ook $k=29a+65b$ .
Uit de coëfficiënten van x en y leiden we een stelsel af met onbekenden a en b:
$\begin{cases} 13a+33b=5\\14a+30b=22 \end{cases}$
Hieruit volgt dat $a=8$ en $b=-3$ en dan is $k=37$
Er worden door 5 zwarte, 22 grijze en 15 witte kippen dus 37 eieren gelegd in 1 week.

Karahantepe

Geplaatst op 5 maart 2026 door admin

Karahantepe – een sleutelplek uit het vroege Neolithicum

Karahantepe is een prehistorische vindplaats in Zuidoost-Turkije. Karahantepe hoort bij het onderzoeksprogramma Taş Tepeler (Şanlıurfa Neolithic Research Project). Dat project bestudeert de cruciale overgang van laat-jager-verzamelaars naar vroege, meer sedentaire gemeenschappen in Zuidwest-Azië (10e–7e millennium v.Chr.).

Karahantepe past in het Pre-Pottery Neolithic (neolithicum zónder aardewerk), rond het midden van het 10e millennium v.Chr. en later. De site is vooral bekend om:

Monumentale architectuur in kalksteen,met T-vormige pijlers en structuren die deels uit de rotsbodem zijn uitgehakt.
Sporen van verschillende zones (terrassen met pijlers, een zone met o.a. maalstenen, en een zone met steengroeven waar pijlers werden gewonnen).
Het fenomeen van bewust opgevulde (“begraven”) gebouwen: volgens opgravingsleider Necmi Karul lijken de blootgelegde gebouwen “special buildings” die opzettelijk zijn dichtgegooid.

Karahantepe (samen met andere Taş Tepeler-sites) laat zien dat ritueel, kunst en monumentale bouw al een hoge vlucht namen bij gemeenschappen die nog niet passen in het klassieke “eerst landbouw, dan complexiteit”-schema. De vondsten worden vaak aangehaald in discussies over hoe sedentisme en sociale organisatie konden ontstaan vóór of naast landbouw.

Karahantepe vs. Göbekli Tepe in één oogopslag

Gelijkenis: beide horen bij dezelfde regio en traditie van monumentale structuren met T-pijlers.
Verschil in nuance: Karahantepe wordt vaak beschreven met duidelijke aanwijzingen voor meerdere fasen en zones (incl. mogelijke woon-gerelateerde activiteit), en met het opvallende thema van opzettelijk “begraven” gebouwen.
Publieke rol: Göbekli Tepe is UNESCO-werelderfgoed en een grote publiekstrekker; Karahantepe groeit snel mee in bekendheid binnen hetzelfde onderzoekslandschap.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: maart 2026

Nootje 72

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?

De paradox van de onverwachte overhoring

Vierkantswortel van een matrix

De vierkantswortel van een matrix

Definitie

Een eerste eenvoudig voorbeeld

De standaardmethode: diagonaliseerbare matrices