Op 19 maart 2026 maakte de Noorse Academie voor Wetenschappen en Letteren bekend dat de Abelprijs 2026 gaat naar Gerd Faltings, verbonden aan het Max Planck Institute for Mathematics in Bonn. De prijs werd hem toegekend voor zijn diepgaande bijdragen aan de rekenkundige meetkunde en in het bijzonder voor het oplossen van lang openstaande diofantische vermoedens van Mordell en Lang.

Voor veel mensen klinkt dat abstract. Toch raakt Faltings’ werk aan een van de oudste vragen uit de wiskunde: hoeveel rationale oplossingen kan een vergelijking hebben? Met “rationaal” bedoelen we hier getallen die als breuk van twee gehele getallen kunnen worden geschreven. Sommige vergelijkingen hebben oneindig veel zulke oplossingen, andere geen enkele, en weer andere slechts eindig veel. Het grote inzicht van Faltings was dat er een diepe meetkundige reden achter dat verschil schuilt.

Een klassiek voorbeeld is de vergelijking van Pythagoras:

Die heeft oneindig veel gehele oplossingen, zoals en . Zulke voorbeelden tonen dat diofantische vergelijkingen helemaal niet automatisch “zeldzaam” zijn in hun oplossingen. Sommige families leveren juist eindeloos veel oplossingen op.

Maar in de twintigste eeuw begon men te begrijpen dat het gedrag van zulke vergelijkingen sterk samenhangt met de meetkundige vorm van de kromme die erbij hoort. Daarbij speelt het begrip genus een hoofdrol. Heel ruw gezegd meet het genus de complexiteit van een kromme; topologisch kun je het zien als het aantal “gaten” van het bijbehorende oppervlak. Krommen van genus 0 en 1 gedragen zich vaak nog vrij soepel, maar vanaf genus $2$ verandert het beeld drastisch.

In 1922 formuleerde Louis Mordell een beroemde stelling en tegelijk een nog moeilijker vermoeden. Voor elliptische krommen, dat zijn krommen van genus $1$, bewees hij dat de rationale punten een eindig voortgebrachte abelse groep vormen. Maar voor krommen van genus groter dan $1$ vermoedde hij iets nog sterker: daar zouden er slechts eindig veel rationale punten bestaan. Dat vermoeden bleef meer dan zestig jaar onopgelost.

Precies daar brak Gerd Faltings in 1983 door. Hij bewees het vermoeden van Mordell, dat sindsdien bekendstaat als de stelling van Faltings. In moderne bewoordingen zegt die stelling dat een algebraïsche kromme van genus ten minste $2$, gedefinieerd over de rationale getallen, slechts een eindig aantal rationale punten heeft. Dat is een verbluffend resultaat: het zegt niet noodzakelijk welke oplossingen er zijn, maar wel dat het er nooit oneindig veel kunnen zijn.

Het belang daarvan is moeilijk te overschatten. Faltings bewees niet zomaar één geïsoleerde stelling, maar veranderde de manier waarop getaltheorie en meetkunde met elkaar verbonden werden. Zijn aanpak liep niet via de klassieke diofantische benaderingen alleen, maar via nieuwe methoden in de rekenkundige meetkunde, onder meer via ideeën rond hoogten en finietheidsresultaten voor families van krommen. Zijn bewijs verraste de experts en werd meteen gezien als een historische doorbraak.

Een mooie les voor leerlingen en liefhebbers van wiskunde is dat vergelijkingen niet alleen algebra zijn, maar ook meetkunde. Een vergelijking kun je beschouwen als een kromme, en de vorm van die kromme bepaalt mee hoeveel rationale oplossingen mogelijk zijn. Dat is precies de kracht van de rekenkundige meetkunde: ze laat zien dat vragen over breuken en gehele getallen soms pas oplosbaar worden wanneer je ze meetkundig bekijkt.

De Abelprijs 2026 bekroont die visie. Volgens de officiële motivatie kreeg Faltings de prijs voor het invoeren van krachtige methoden in de rekenkundige meetkunde en voor het oplossen van lang openstaande diofantische vermoedens van Mordell en Lang. De Abelprijs bestaat sinds 2003 en bedraagt in 2026 7,5 miljoen Noorse kronen. Faltings kreeg eerder al de Fieldsmedaille in 1986, kort na zijn spectaculaire doorbraak.

Het aantal rationale oplossingen van de vergelijking correspondeert met het aantal punten met rationale coördinaten op :

Of , wat lastiger, de vergelijking .