Determinant

Bereken de kans dat de determinant van een 2×2 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  even is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =ad-bc\]

  • Een product van twee natuurlijke getallen is oneven als beide getallen oneven zijn, dus de kans dat ad oneven is, is \frac{1}{4}. De kans dat ad even is, wordt dat \frac{3}{4}.
  • Nu is det A even als ad en bc beiden even zijn of beide oneven zijn.
  • De kans dat det A even is , is bijgevolg gelijk aan \frac{1}{4}.\frac{1}{4}+\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{10}{16}=0,625

Nootje 45

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw  een getal dat een kwadraat is.

Antwoord

  • Noteer met x het gezochte getal. 
  • Dan kan je schrijven dat x=p^2 met p tussen 31 en 100.
  • Elk cijfer mer 3 vermeerderen betekent dat je 3333 optelt bij x. 
  • Deze uitkomst is weer het kwadraat van een getal: Noteer dit als q^2.
  • Dan is q^2-p^2=3333 of (q-p)(q+p)=3333
  • Nu kan je 3333 schrijven als 1.3333=3.1111=11.303=33.101.
  • Zo bekom je bvb het stelsel q+p=101 en q-p=33, waaruit volgt dat p=34 
  • De andere mogelijkheden leveren geen oplossing op voor p tussen 32 en 100.
  • Het gezocht getal is dus 34^2=1156

Valse munten

Je hebt 10 stapels van 10 munten. Elke munt  van 9 van die stapels weegt 6 gram? Maar de munten van de 10de stapel wegen elk maar 5 gram. Hoe kan je met slechts 1 weging weten in welke stapel de munten van 5 gram zitten?

Antwoord

  • Neem van de eerste stapel 1 muntstuk, van de tweede stapel 2 muntstukken, van de derde stapel 3 munten, ….. en van de tiende stapel 10 munten.
  • Je hebt dan 1+2+3+…+10 = 55 munten genomen.
  • Als ze elk 6 gram zouden wegen , is het totale gewicht 6 x 55 = 330 gram.
  • Weeg nu de 55 munten. Het gewicht minder dan 330 gram geeft aan welke stapel de munten van 5 gram bevat. Want stel dat de 55 munten 327 gram wegen, dan zijn er drie munten bij van 5 gram. Drie munten heb je genomen van de  derde stapel. Dus stapel drie heeft de munten van 5 gram.

Les 5: Diophantische vergelijkingen en modulo rekenen

Als twee gehele getallen gelijk zijn, dan zijn hun resten bij deling door een zelfde natuurlijk getal, verschillend van nul, ook gelijk. Of via contrapositie: als er tenminste 1 natuurlijk getal n bestaat waarvoor a \neq b \mod n, dan zal ook a verschillend zijn van b.

Proberen we eens met

    \[2x^2-3y^2-9463=0\]

  • Herschrijf tot 2x^2-3y^2=9463.
  • We bepalen de resten van beide leden bij deling door 3: 2x^2-3y^2\equiv 9463 \mod 3.
  • Of 2x^2\equiv 1 \mod 3.
  • Het inverse element, modulo 3, van 2 is 2 zelf, dus kunnen we vorige  vergelijking herschrijven als

        \[x^2\equiv 2 \mod 3\]

  • Nu is 2 geen kwadraatrest modulo 3, want 0^2=0,1^2=1 en 2^2=1.
  • Bijgevolg heeft de gegeven vergelijking geen oplossingen.

Les 4: ontbinding en exhaustie

Bij Diophantische vergelijkingen van een hogere graad kan je via ontbinding in factoren dikwijls de oplossing vinden. Neem bijvoorbeeld:

    \[3x^2-4xy+5=0\]

  • We kunnen deze vergelijking herschrijven als

        \[x(3x-4y)=-5\]

  • Als x en y gehele getallen zijn, dan moeten x en 3x-4y delers zijn van -5.
  • We kunnen gemakkelijk alle mogelijkheden opschrijven: 

        \[\begin{array}{c|c|c} x&3x-4y&y \\ \hline \\1&-5&2\\-1&5&-2\\5&-1&4\\-5&1&-4\end{array}\]

  • We hebben dus als oplossingen (1,2),(-1,-2),(5,4),(-5,-4).