Enkelvoudige groepen

De classificatie stelling van eindige enkelvoudige groepen classificeert alle eindige enkelvoudige groepen. Deze groepen zijn de bouwstenen van alle eindige groepen, zoals de priemgetallen de bouwstenen zijn van de natuurlijke getallen. De stelling beslaat meer dan 10000 pagina’s verspreid over meer dan 500 artikels in de periode van 1955 tot 1983. Michael Aschbacher en Steve Smith hebben de laatste puntjes op de spreekwoordelijke i geplaatst.

De enkelvoudige groepen zijn:

  • de cyclische groepen C_p van priem orde.
  • de alternerende groepen A_n met n \geq 5.
  • de Chevalley groepen en de gedraaide Chevalley groepen.
  • De Tits groep.
  • 26 sporadische groepen waaronder de 5 Mathieu groepen.

Een bespreking van al die groepen vind je in de “atlas van de eindige groepen ” van Conway,Curtis,Norton,Parker en Wilson.

Groep acties en de stellingen van Sylow

In dit hoofdstuk bestuderen we de werking van een groep op een verzameling.

groupaction

Verder bespreken we ook de stellingen van Sylow, die ons iets leren over bepaalde deelgroepen van een gegeven groep. De stellingen kunnen worden gebruikt om informatie over de structuur van een eindige groep te verkrijgen.

sylow

Lees hier voor verdere informatie

Eerste voorbeelden van groepen

Het is tijd voor een aantal voorbeelden. In deze tekst behandelen we alle groepen van orde 2 tot en met 10. We stellen ons de vraag hoeveel groepen er van een bepaalde orde zijn en dan gaan we voor elk geval een aantal items bestuderen:

  • gepaste voorstelling en naam
  • abels of niet
  • orde van elk element
  • toevoegingsklassen
  • de deelgroepen
  • de constructie in enkelvoudige groepen
  • de automorfisme groep
  • mogelijke realisaties

viergroep

 

Cyclische en dihedrale groepen

Het is belangrijk te beschikken over bronnen van praktische voorbeelden van groepen. De meest eenvoudige groepen zijn enerzijds de cyclische groepen, dit zijn groepen voortgebracht door 1 element . Lees hierover in dit hoofdstuk.
cyclic

Een andere belangrijke categorie van voorbeelden vormen de dihedrale groepen. Dit zijn  groepen van symmetrieën van een regelmatige veelhoeken. Lees hier meer erover.
dihedral