De entier-functie | Wiskunde is leuk

Het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan het reële getal x heet de entier ( frans voor ‘ geheel’) van x. Notatie: $\lfloor x\rfloor$ . Deze notatie werd voor het eerst gebruikt door C.F.Gauss in 1808. Soms wordt ook de notatie $G(x)$ gebruikt.

Zo is $\lfloor 7,43 \rfloor = 7$ , $\lfloor -\pi \rfloor =-4$ en $\lfloor 2017 \rfloor =2017$ .

Een paar eigenschappen:

$\lfloor x \rfloor = \text{ max } \{ m \in \mathbb{Z} : m \leq x \}$ .
$\lfloor x \rfloor = m \Leftrightarrow x-1 < m \leq x \Leftrightarrow m \leq x <m+1$ .
Voor elk natuurlijk getal $n$ geldt : $\lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n$ .
$\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ en $n \in \mathbb{Z}$ geldt: $n= \lfloor \frac{n}{m} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor+\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ geldt: $\lfloor mx \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{m}\rfloor+\cdots+\lfloor x+\frac{m-1}{m} \rfloor$ .

Soms definieert men ook volgende functies:

Het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan $x$ als $\lceil x \rceil$ .
Het breukdeel van $x$ als $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ . Het breukdeel wordt dikwijls bekeken als het deel na de komma, maar dat is slechts correct voor positieve getallen.