De entier-functie

Het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan het reële getal x heet de entier ( frans voor ‘ geheel’) van x. Notatie: \lfloor x\rfloor. Deze notatie werd voor het eerst gebruikt door C.F.Gauss in 1808. Soms wordt ook de notatie G(x) gebruikt.

Zo is \lfloor 7,43 \rfloor = 7,  \lfloor -\pi \rfloor =-4 en \lfloor 2017 \rfloor =2017.

Een paar eigenschappen:

  • \lfloor x \rfloor = \text{ max } \{ m \in \mathbb{Z} : m \leq x \}.
  • \lfloor x \rfloor = m \Leftrightarrow x-1 < m \leq x \Leftrightarrow m \leq x <m+1.
  • Voor elk natuurlijk getal n geldt : \lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n.
  • \lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1.
  • Voor m \in \mathbb{N} en n \in \mathbb{Z} geldt: n= \lfloor \frac{n}{m} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor+\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor.
  • Voor m \in \mathbb{N} geldt: \lfloor mx \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{m}\rfloor+\cdots+\lfloor x+\frac{m-1}{m} \rfloor.

Soms definieert men ook volgende functies:

  • Het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan x als \lceil x \rceil.
  • Het breukdeel van x als \{x\}=x-\lfloor x \rfloor. Het breukdeel wordt dikwijls bekeken als het deel na de komma, maar dat is slechts correct voor positieve getallen.