Differentie veeltermen | Wiskunde is leuk

We beschrijven een manier om de waarden van een veelterm $P(x)$ te berekenen als de waarden in opeenvolgende natuurlijke getallen gegeven zijn.

De (eerste) differentie van $P(x)$ is:

$D_1(x)=P(x+1)-P(x)$

De k-de differentie wordt dan gedefinieerd als:

$D_k(x)=D_1(D_{k-1}(x))$

Als de graad van $P(x)$ gelijk is aan n, dan formuleren we volgende eigenschappen:

De graad van $D_1(x)$ is $n-1$ .
De graad van $D_k(x)$ is $n-k$ .
Via inductie vinden we
$D_k(x)=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}P(x+i)$
$D_n(x)$ is constant en $D_{n+1}(x)=0$ .
De waarde van de constante $D_n(x)$ is $n!$ keer de co\”efficiënt\”ent van $x^n$ in $P(x)$ .
$P(x+n+i)=\sum_(I=0}^n(-1)^{k-i}\binom{n+1}{i}p(x+i)$ .

Veronderstel dat $f$ een veelterm is van graad 2 en dat $f(1)=4,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=7$ en $f(5)=12$ , bereken dan $f(6)$ . We zouden een voorschrift voor f kunnen opstellen via interpolatie of door 3 van de gegevens in te vullen in $f(x)=ax^2+bx+c$ en dan het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden op te lossen. Maar .. laten we eens de differenties berekenen:

Omdat we weten dat $D_2(x)$ constant is kunnen we de tabel zelf aanvullen:

en vinden we dat $f(6)=19$ .

Een ander voorbeeld: zo is er geen veelterm $P(n)$ waarvoor geldt dat $P(n)=2^n$ voor elke positief natuurlijk getal n. Want : $D_1(n)=2^{n+1}-2^n=2^n=P(n)$ . Dus wordt geen enkele differentie konstant en bestaat er geen veelterm met de gevraagde voorwaarde.