Differentiequotiënten bij veeltermen en afgeleide formules

Veronderstel dat $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ . Definieer het differentiequotiënt van $P(x)$ , behorende bij toename $h_1$ , als:

$\Delta_{h_1}P(x)=\dfrac{P(x+h_1)-P(x)}{h_1}$

$\Delta_{h_1}P(x)$ is een veelterm van de $n-1$ ste graad , met $a_n.n$ als coëfficiënt van de hoogtse macht van $x$ .

We kunnen op zijn beurt ook het differentiequotiënt van $\Delta_{h_1}P(x)$ berekenen, bij een toename $h_2$ . We noteren $\Delta_{h_2}(\Delta_{h_1}P(x))$ als $\Delta_{h_2h_1}P(x)$ . Ook dit is een veelterm, nu van graad $n-2$ en met $a_n.n(n-1)$ als coëfficiënt van de hoogste macht van $x$ . Bij elke differentiequotiënt verlaagt de graad met 1. Als we $n$ differentiequotiënten na elkaar uitvoeren, vinden we dus een constante, en die blijkt onafhankelijk te zijn van de $n$ toenames $h_i$ . We krijgen :

$\Delta_{h_n \cdots h_1}P(x)=a_n.n!$

Kies $h_1=h_2=\cdots=h_n=1$ en schrijf $\Delta^i$ in plaats van $\Delta_{11\cdots1}$ , dan volgt:

$\begin{array}{l} \Delta^1P(x)=P(x+1)-P(x)\\ \Delta^2P(x)=P(x+2)-2P(x+1)+P(x)\\ \Delta^3P(x)=P(x+3)-3P(x+2)+3P(x+1)-P(x)\end{array}$

We besluiten hieruit:

$a_n.n!=\Delta^nP(x)= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x+n-k)$

We kunnen bovenstaande formule nog vereenvoudigen door $x+n$ in plaats van $x$ als variabele te nemen. Dit mag omdat de substitutie $x \leftrightarrow x+n$ in $P(x)$ een veelterm geeft met dezelfde kopcoëfficiënt.

$a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}P(x-k)$

Als we $k$ vervangen door $n-k$ , dan wordt, volgens dezelfde opmerking als hierboven, deze formule:

$a_n.n!= \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}P(x+k)$

Opmerkingen:

Neem $P(x)=x^n$ , dan wordt bovenstaande formule: $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n=n!$
We controleren voor $n=2$ . Het linkerlid wordt $x^2-2(x-1)^2+(x-2)^2=x^2-2(x^2-2x+1)+(x^2-4x+4)=2=2!$
Omdat in vorig punt het rechterlid een constante is, kan je in het linkerlid $x$ vervangen door om het even welke uitdrukking, bijvoorbeeld : $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}(2^{n+1}-n-k-1)^n=n!$