De Ducci-reeks is een getallenreeks die ontstaat door herhaaldelijk het volgende proces toe te passen op een n-tal natuurlijke getallen:
- Neem een reeks van n getallen, bvb (0,653,185,842).
- Bereken een nieuwe reeks door de absolute waarde van het verschil te nemen tussen elk paar opeenvolgende getallen en sluit de reeks cyclisch af; dit wil zeggen trek het eerste getal af van het laatste. Dus het verschil nemen en het teken negeren.
- In ons voorbeeld wordt het eerste getal van de nieuwe reeks 653-0; het tweede getal is 185-653 maar dan zonder minteken; het derde is 842-185; het laatste getal is 0-842, maar ook hier zonder minteken. Zo krijg je een nieuwe reeks (653,468,657,842).
- Het proces kan nu herhaald worden op deze nieuwe reeks.
Een Python programma:
De Ducci-reeks werd in de jaren 1930 geïntroduceerd door een Italiaanse wiskundige E.Ducci (1864-1940). Het is duidelijk dat je na een aantal stappen ofwel een reeks bekomt met allemaal nullen ofwel dat je eindigt in een reeks die je eerder al gehad hebt en waardoor je een periodiek patroon krijgt. Een Python programma dat nakijkt welk patroon er optreedt:
Je kan nagaan dat elk viertal sowieso eindigt op een nulrij! je kan dit ook visualiseren:
Het rekenspelletje diffy wordt gebruikt om kinderen te leren aftrekken, en hen tegelijkertijd te leren om logisch na te denken en patronen te herkennen. Het kan gespeeld worden met gehele getallen, breuken, reële getallen en geldbedragen, maar meestal wordt gewerkt met natuurlijke getallen. Het spelletje begint met het invullen van vier willekeurige getallen in de vier cirkels op de buitenste hoekpunten. Daarna moeten de buitenste vierkanten ingevuld worden door telkens het kleinste getal af te trekken van het grootste getal op de twee naburige hoekpunten. Deze procedure waarbij naburige hoekpunten van elkaar afgetrokken worden en steeds naar binnen toe gewerkt wordt, moet telkens herhaald worden. Zie je een bepaald patroon ontstaan? Kan je het midden bereiken zonder een verschil te krijgen dat nul oplevert?
Hierboven staat een volledig ingevuld voorbeeld van een spelletje diffy. Zoals je kan zien is de speler niet gewonnen, omdat de vier cirkels die het dichtst bij het centrum gelegen zijn allemaal nullen bevatten. Dit spel is eigenlijk een Ducci reeks en we weten dat elk viertal na een eindig aantal stappen steeds op een nulrij zal eindigen, dus dit spel kan nooit gewonnen worden.