Herschikkingsongelijkheid

De herschikkingsongelijkheid is tezelfdertijd een zeer eenvoudige maar ook een zeer krachtige ongelijkheid. Als a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_n en b_1\leq b_2\leq \ldots \leq b_n dan noemen we (a_1,\ldots,a_n) en (b_1,\ldots,b_n) gelijk geordend en (a_1,\ldots,a_n) en (b_n,\ldots,b_1) omgekeerd geordend.
We noemen A=a_1b_1+\cdots +a_nb_n de geordende som en B=a_1b_n+\cdots +a_nb_1 de omgekeerde som van de gegeven getallen.
Als (x_1,\ldots,x_n) een herschikking (permutatie) is van de getallen (b_1,\ldots,b_n) dan noemen we X=a_1x_1+\cdots +a_nx_n een gemengde som.

De herschikkingsongelijkheid zegt dan:

    \[A\geq X \geq B\]

 

Voorbeeld:

Voor 3 positieve getallen a,b,c geldt: \dfrac{a+b+c}{abc}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}

Neem de gelijk geordende drietallen (\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c}) en (\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c}) . Dan is \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq \dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b+c}{abc}.