Nootje 57 | Wiskunde is leuk

Een getal van 5 cijfers is een veelvoud van 41. Als het meest links geschreven cijfer helemaal achteraan wordt geplaatst en dus het laatste cijfer wordt, dan is het nieuwe getal een volkomen derde macht; Welk is het oorspronkelijk getal

Antwoord

Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
Dan is $x=a.10^4+b$ .
Nu moet dus $a.10^4+b=41m$ en $10b+a=k^3$ .
Omdat $k^3$ een getal is van 5 cijfers, zal $22 \leq k\leq 46$ .
Uit de tweede voorwaarde vinden we dat $a=k^3-10b$ . Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit $(k^3-10b).10^4+b=41m$ , of uitgewerkt:
$10^4k^3-99999b=41m$
41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet $k^3$ een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met $22 \leq k\leq 46$ volgt hieruit dat $k=41$ en $k^3=68921$ .
Het gevraagde getal is dus 16892