Nootje 59 | Wiskunde is leuk

Bereken:
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\sin^n x+\cos^n x} dx$

Antwoord

We voeren een substitutie uit: $t=\frac{\pi}{2}-x$ .
Dan is
$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} (-dt)$
Het minteken gebruiken we om de grenzen om te draaien. Dus:

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} dt$
Door dit resultaat op te tellen bij de opgaven vinden we dat $2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} dx$
Dus $I=\frac{\pi}{4}$ .
We kunnen dit veralgemenen tot
$\int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=\frac{b-a}{2}$
Je kan deze formule bewijzen door de substitutie $x=a+b-t$ uit te voeren en dan verder te werken zoals hierboven.