Nootje 72 | Wiskunde is leuk

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?

Antwoord

Noem de drie nulwaarden a,b en c.
Dan moet $a+b+c=87$ . Omdat 87 oneven is moeten van $a,b$ en $c$ er twee even en één oneven zijn ofwel moeten ze alle drie oneven zijn.
Verder moet $ab+ac+bc=181$ . Als er twee van de drie nulwaarden even zijn is het linkerlid zeker even en vermits het rechterlid oneven is, is dit onmogelijk.
Bijgevolg zijn de drie nulwaarden alle drie oneven. Stel $a=1+2d,b=1+2e$ en $c=1+2f$ .
Dan moet $(1+2d)(1+2e)+(1+2e)(1+2f)+(1+2f)(1+2d)=181$ . Uitgewerkt geeft dit:
$3+4(d+e+f+de+df+ef)=181$
Dus: $4(d+e+f+de+df+ef)=178$ . Dit is onmogelijk, want het linkerlid is een viervoud en het rechterlid niet.
Er is dus geen gehele waarde van k te vinden waarvoor de gegeven veelterm drie gehele nulwaarden heeft.