Nootje 74

Geplaatst op door

Los op:

    \[\begin{cases} xy+zu=444\\xz+yu=180\\xu+yz=156\\xyzu=5184 \end{cases}\]

Antwoord

  • Dit is geen lineair stelsel, dus die methodes kunnen we al vergeten.
  • Uit de eerste en vierde vergelijking volgt dat xy en zu twee getallen zijn met som 444 en product 5184,dus oplossingen zijn van r^2-444r+5184=0. De oplossingen zijn 12 en 432.
  • Analoog volgt uit de tweede en vierde vergelijking dat xz en yu oplossingen zijn van r^2-180r+5184=0. Deze zijn 36 en 144.
  • Doe nu hetzelfde voor  de derde en vierde vergelijking. Dan zij xu en yz oplossingen van r^2-156r+5184=0. Dus 48 en 108.
  • Neem nu bijvoorbeeld xy=12,zu=432,xz=36,yu=144,xu=48 en yz=108.
  • Het eerste wat opvalt is dat x,y,z en u hetzelfde teken moeten hebben.
  • Omdat \frac{xy.xz.xu}{xyzu}=\frac{12.36.48}{5184}, krijgen we dat x^2=4 en dus dat x=\pm 2. Het is nu gemakkelijk om y,z en u te berekenen en we vinden zo (2,6,18,24) en zijn tegengestelde als oplossing.
  • Andere combinatie geven (3,4,12,36),(4,3,36,12),(6,2,24,18),(12,36,3,4),(18,24,2,6),(24,18,6,2),(36,12,4,3) en hun tegengestelde als oplossingen.