Opgave 3 | Wiskunde is leuk

Bepaal het aantal oneven binomiaalgetallen in $(a+b)^n$ .

Antwoord

Een binomiaalgetal is van de vorm: $\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!s!}$ met $s=n-r$ .
We noteren de getallen n,r en s in het binair talstelsel:
$n=\sum_{i=0}^hn_i.2^{h-i}$

$r=\sum_ir_i.2^{k-i}$

$s=\sum_i^ps_i.2^{p-i}$

met $n_i,r_i,s_i \in \{0,1\}$ en $n_0=1$
De exponent van 2 in n! is gelijk aan $n-\sum n_i$ . De exponent van 2 in r! is gelijk aan $r-\sum r_i$ . De exponent van 2 in s! is gelijk aan $s-\sum s_i$ .
Voor meer uitleg lees volgend artikel
Als het binomiaalgetal oneven moet zijn, dan mag $\dfrac{n!}{r!s!}$ geen factor 2 meer bevatten en moet dus $n-\sum n_i=r-\sum r_i+s-\sum s_i$ .
Bijgevolg is $\binom{n}{r}$ oneven als $\sum n_i=\sum r_i+\sum s_i$ .
Het aantal oneven binomiaalgetallen komt dus overeen met het aantal keuzes van r, tussen 0 to n , waarvoor $\sum n_i=\sum r_i+\sum s_i$ .
Als $n_i=0$ moet $r_i=s_i=0$ . Er is dus $2^0=1$ mogelijkheid
Als $n_i=1$ , dan heb je $2^1=2$ mogelijkheden: $r_i=1,s_i=0$ of $r_i=0,s_i=1$ .
Noteer $k=\sum_i n_i$ , dan zijn er dus $2^k$ oneven binomiaalgetallen.
Er zijn dus $2^k$ oneven binomiaalgetallen in $(a+b)^n$ , waarbij $k$ gelijk is aan de som van de cijfers in de binaire schrijfwijze van $n$ .
Controleer met een voorbeeld : voor $n=4$ heb je als binomiaalgetallen: 1,4,6,4,1. Er zijn dus 2 oneven binomiaalgetallen. Nu is 4 = 100 in het binair talstelsel en dus is $k = 1+0+0=1$ . Er zijn dus $2^1=2$ oneven binomiaalgetallen.