pi en de sommen van twee kwadraten

Het aantal mogelijkheden om een natuurlijk getal n als een som van twee kwadraten van gehele getallen te schrijven hangt af van de aard van zijn ontbinding in factoren. Zij $n \in \mathbb{N}_0$ en stel dat $r_2(n)$ het aantal oplossingen is in $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ van de vergelijking $x^2+y^2=n$ .

$65=(\pm1)^2+(\pm8)^2=(\pm8)^2+(\pm1)^2=(\pm4)^2+(\pm7)^2=(\pm7)^2+(\pm4)^2$ , dus $r_2(65)=16$

Nu is elk priemgetal van de vorm $4k+1$ op slechts juist 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Bovendien is er geen priemgetal van de vorm $4k+3$ dat de som is van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Men kan nu bewijzen dat:

$r_2(n)=4(A_n-B_n)$

Hierbij stel $A_n$ het aantal delers voor van n die gelijk zijn aan 1 modulo 4 en $B_n$ het aantal delers van n die gelijk zijn aan 3 modulo 4.

Controleren we dit even voor $n=65$ . De delers van 65 zijn $\{1,5,13,65\}$ . Alle vier de delers van 65 zijn gelijk aan 1 modulo 4, dus $A_{65}=4$ en $B_{65}=0$ . Onze formule geeft dan dat $r_2(65)=4(4-0)=16$ , wat overkomt met de waarneming hierboven.

Met $R_2(n)$ bedoelt men de som van alle $r_2(k)$ met $k\in \mathbb(N}$ en $0\leq k\leq n$ . Zo is $R_2(5)=r_2(0)+r_2(1)+r_2(2)+r_2(3)+r_2(4)+r_2(5)=14+4+0+4+8=21$ . Men kan eenvoudig zien dat $R_2(n$ het aantal roosterpunten voorstelt binnen of op de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=n$ . Als men rond elk roosterpunt een vierkantje tekent met zijde 1, dan kan je gemakkelijk zien dat

$R_2(n)\approx n\pi$

Het voorbeeld van $n=5$ geeft volgende tekening:

Je kan het aantal roosterpunten tellen binnen of op de cirkel met straal $\sqrt{5}$ en men bekomt inderdaad 21. De oppervlakte van de cirkel is $\pi (\sqrt{5})^2=5\pi \approx 16$ en dat is een benadering van het resultaat 21. Hoe hoger n hoe beter de benadering.

Hieronder een Python programma voor de berekening van $r_2(n)$ voor n van 0 tot 20.