Pi met wortels | Wiskunde is leuk

Hoe kan je pi benaderen door middel van wortels? Bekijk volgende mogelijkheid: de oppervlakte van een cirkel met straal 1 benaderen we door het gemiddelde te nemen van de oppervlaktes van een ingeschreven regelmatige achthoek en een omgeschreven regelmatige zeshoek.

Neem een omgeschreven zeshoek :
om de oppervlakte te berekenen nemen we zes keer de oppervlakte van OAB. De hoogte OM van die driehoek is 1. De basis AB is $2*\tan 30^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . Bijgevolg is de oppervlakte van de zeshoek gelijk aan $2\sqrt{3}$ .
Neem vervolgens een ingeschreven regelmatige achthoek:
de oppervlakte is gelijk aan acht keer de oppervlakte van driehoek OAB. De oppervlakte van die driehoek is gelijk aan $\frac{1}{2}*1*1*\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}$ , zodat de oppervlakte van de achthoek gelijk is aan $2\sqrt{2}$ .
Het gemiddelde van die twee oppervlaktes is dan $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .
Aldus is $\pi \approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3.14626436994$