Som gelijk aan product | Wiskunde is leuk

Noteer alle niet-triviale n-de machtswortels uit 1 door $e_i:i=2....n$ . Stel $e_1=1$ . Vorm nu de uitdrukkingen $a_i=1-e_i$ en bewijs dat

$\sum_{i=2}^na_i=\prod_{i=2}^na_i$

$z^n-1=(z-1)(z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=(z-1)(z^{n-1}+...+z+1)$
Dus is $(z-e_2)(z-e_3)...(z-z_n)=z^{n-1}+...+z+1$
Stel hierin $z=1$ en je vindt dat het rechterlid uit de te bewijzen formule gelijk is aan $n$ .
Verder is het linkerlid gegeven door $\sum_{i=2}^na_i=\sum_{i=1}^na_i= \sum_{i=1}^n1-\sum_{i=1}^ne_i=n-0=n$ .
Bij de laatste stap maken we gebruik van de eigenschap dat de som van de wortels van $z^n-1$ gelijk is aan de coëfficiënt van de op één na hoogste graadsterm.
Hiermee is het gestelde bewezen.