Tag archieven: abelse groepsringen

Symmetrische eenheden van ℤC₅

Geplaatst op door

Voor C_5=\langle g\rangle splitst de rationale groepsalgebra als

    \[ \mathbb QC_5\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\zeta_5). \]

Voor de symmetrische elementen wordt de cyclotomische component vervangen door haar maximale reële deelveld:

    \[ \mathbb QC_5^+\cong\mathbb Q\oplus\mathbb Q(\alpha), \qquad \alpha=\zeta_5+\zeta_5^{-1}, \qquad \alpha^2+\alpha-1=0. \]

De integrale orde. In \mathbb Z\oplus\mathbb Z[\alpha] komt \mathbb ZC_5^+ overeen met

    \[ A=\bigl\{(m,u+v\alpha)\mid m\equiv u+2v\pmod 5\bigr\}. \]

De componentorde heeft eenhedengroep

    \[ \mathbb Z[\alpha]^\times=\{\pm(1+\alpha)^n\mid n\in\mathbb Z\}. \]

De torsievrije rang is 1. Voor genormaliseerde symmetrische eenheden moet de triviale component gelijk zijn aan 1. Daardoor selecteert de congruentie de deelgroep

    \[ H=\bigl\{u+v\alpha\in\mathbb Z[\alpha]^\times\mid u+2v\equiv1\pmod5\bigr\}. \]

In plaats van voor iedere macht van 1+\alpha de congruenties opnieuw op te lossen, coderen we de voorwaarde door

    \[ \operatorname{ev}_2:\mathbb Z[\alpha]^\times\longrightarrow\mathbb F_5^\times, \qquad u+v\alpha\longmapsto u+2v\pmod5. \]

Zo wordt het zoeken naar H=\operatorname{ev}_2^{-1}(1) een berekening in de eindige groep \mathbb F_5^\times. Men vindt

    \[ H=\langle-2-\alpha\rangle, \qquad U_1(\mathbb ZC_5)^+\cong H. \]

Structuurfiguur voor de congruentiedeelgroep H bij C5

De generator -2-\alpha heeft onder \rho_2^{-1} als inverse beeld de trinomiale eenheid

    \[ -1+g^2+g^{-2}. \]

Eindresultaat

    \[ U_1(\mathbb ZC_5)^+=\langle-1+g^2+g^{-2}\rangle. \]

De inverse trinomiale eenheid -1+g+g^{-1} genereert dezelfde cyclische groep.

Volledige uitwerking (PDF)
Computationele controle (PDF)