Tag archieven: diagonaalmatrix

Vierkantswortel van een matrix

Geplaatst op door

De vierkantswortel van een matrix

Voor een reëel getal a \ge 0 weten we wat een vierkantswortel is: dat is een getal b waarvoor

    \[ b^2=a. \]

Bij matrices stellen we precies dezelfde vraag.

Definitie

Een vierkantswortel van een matrix A is een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Met andere woorden: als we B met zichzelf vermenigvuldigen, krijgen we A.

Hierbij moeten we meteen opletten dat de situatie bij matrices subtieler is dan bij gewone getallen:

  • een matrix kan geen vierkantswortel hebben;
  • een matrix kan meerdere vierkantswortels hebben;
  • een vierkantswortel is in het algemeen niet uniek.

Daarom is het vaak beter te spreken van een vierkantswortel van een matrix dan van de vierkantswortel.

Een eerste eenvoudig voorbeeld

Neem de diagonale matrix

    \[ A=\begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix}. \]

Dan is

    \[ B=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} \]

een vierkantswortel van A, want

    \[ B^2= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix} =A. \]

Maar ook

    \[ \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix} \]

zijn vierkantswortels van A.

Zelfs in dit eenvoudige geval is de vierkantswortel dus niet uniek.

De standaardmethode: diagonaliseerbare matrices

De berekening van een vierkantswortel wordt veel eenvoudiger wanneer de matrix diagonaliseerbaar is. Stel dat

    \[ A=PDP^{-1}, \]

waarbij D een diagonale matrix is:

    \[ D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n). \]

Als we voor elke diagonaalwaarde \lambda_i een getal \mu_i kunnen kiezen zodat

    \[ \mu_i^2=\lambda_i, \]

dan is

    \[ \sqrt{D}=\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n) \]

een vierkantswortel van D.

Daaruit volgt dan onmiddellijk een vierkantswortel van A:

    \[ B=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Inderdaad,

    \[ B^2=(P\sqrt{D}P^{-1})(P\sqrt{D}P^{-1}) = P(\sqrt{D})^2P^{-1} = PDP^{-1} = A. \]

De strategie is dus:

  1. bepaal de eigenwaarden van A;
  2. diagonaliseer A;
  3. neem de vierkantswortel van de diagonale matrix;
  4. keer terug naar de oorspronkelijke basis.

Uitgewerkt voorbeeld

We bekijken de matrix

    \[ A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}. \]

We zoeken een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Stap 1: eigenwaarden bepalen

Voor een matrix van de vorm

    \[ \begin{pmatrix} a&b\\ b&a \end{pmatrix} \]

zijn de eigenwaarden

    \[ a+b \quad \text{en} \quad a-b. \]

Hier krijgen we dus

    \[ \lambda_1=5+4=9, \qquad \lambda_2=5-4=1. \]

Stap 2: eigenvectoren bepalen

Bij \lambda_1=9 hoort bijvoorbeeld de eigenvector

    \[ v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \]

en bij \lambda_2=1 hoort

    \[ v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \]

We nemen dus

    \[ P= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 9&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Dan geldt

    \[ A=PDP^{-1}. \]

Stap 3: de vierkantswortel van D

Een natuurlijke keuze is

    \[ \sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Stap 4: teruggaan naar de oorspronkelijke basis

We berekenen

    \[ B=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Omdat

    \[ P^{-1}=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \]

volgt

    \[ B= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}. \]

Eerst vinden we

    \[ P\sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix}. \]

Dus

    \[ B= \frac12 \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}. \]

Stap 5: controle

Nu controleren we:

    \[ \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}. \]

Dus

    \[ \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \]

is inderdaad een vierkantswortel van A.

Niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel

Neem bijvoorbeeld

    \[ A= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Als we een reële diagonale vierkantswortel zouden willen nemen, dan zouden we een reëel getal x nodig hebben met

    \[ x^2=-1, \]

en dat bestaat niet in \mathbb{R}.

Dus niet elke reële matrix heeft een reële vierkantswortel. Vooral negatieve eigenwaarden kunnen problemen veroorzaken.

Het mooie geval: symmetrische positief-definiete matrices

Wanneer A een symmetrische matrix is met strikt positieve eigenwaarden, dan bestaat er precies één symmetrische positief-definiete vierkantswortel. Die noemt men de hoofdvierkantswortel van A.

In dat geval kan men schrijven

    \[ A=QDQ^T, \]

waarbij Q orthogonaal is en D diagonaal met positieve diagonaalelementen. Dan is

    \[ \sqrt{A}=Q\sqrt{D}Q^T. \]

Dit is de netjesste en meest natuurlijke situatie.

Besluit

Een vierkantswortel van een matrix A is een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Voor diagonaliseerbare matrices is de berekening conceptueel eenvoudig:

    \[ A=PDP^{-1} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{A}=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Men reduceert het probleem dus tot het nemen van vierkantswortels van de eigenwaarden.

Toch moeten we opletten:

  • de vierkantswortel is in het algemeen niet uniek;
  • niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel;
  • voor symmetrische positief-definiete matrices bestaat er wel een natuurlijke keuze.

Het uitgewerkte voorbeeld

    \[ A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix} \]

laat mooi zien hoe eigenwaarden en diagonaliseerbaarheid leiden tot

    \[ \sqrt{A}= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}. \]

[/latexpage]