euler phi functie | Wiskunde is leuk

De Euler-phi functie, ook wel totiënt functie of indicator genoemd, telt het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan n, die onderling ondeelbaar zijn met n. Notatie: $\varphi(n)$ .

Zo is bijvoorbeeld $\varphi(10)=4$ , want de enige getallen die onderling ondeelbaar zijn met 10 en kleiner zijn dan 10, zijn 1,3,7 en 9.

Enkele eigenschappen:

$\varphi(1)=1$ .
Als p een priemgetal is dan is $\varphi(p)=p-1$ .
Als p een priemgetal is dan is $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$ .
Als $n=p_1^{k_1}.p_2^{k_2}.\cdots.p_r^{k_r}$ de priemontbinding is van n, dan geldt $\varphi(n)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)$ . Dit kan je ook schrijven als :
$\varphi(n)= n.\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})$

Hierbij doorloopt p alle priemdelers van n.
$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo n

Een rekenkundige functie is een functie $f:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{C}$ . Een rekenkundige functie drukt een zekere eigenschap van de natuurlijke getallen uit. Een rekenkundige functie $f$ is multiplicatief als voor elk tweetal onderling ondeelbare getallen $m$ en $n$ geldt dat

$f(m.n)=f(m).f(n)$

Omdat elk natuurlijk getal ontbonden kan worden in priemfactoren, is een multiplicatieve functie gekend als je de beelden van de priemfactoren kent.

In volgende tekst worden enkele belangrijke multiplicatieve functies bestudeerd:

De functie die het aantal delers van een getal berekent.
De functie die de som berekent van alle delers van een getal.
De Möbius functie.
De Dirichlet functie.
De Euler functie die van een getal berekent hoeveel getallen er onderling ondeelbaar zijn met het getal.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: euler phi functie

De Euler-phi functie

Multiplicatieve functies