Een nieuwe zeshoek

Neem een willekeurige convexe zeshoek. Met telkens drie opeenvolgende hoekpunten van deze zeshoek vormt men zes driehoeken. Construeer het zwaartepunt van deze driehoeken. De alzo verkregen punten zijn de hoekpunten van een nieuwe zeshoek. Toon aan dat de paren overstaande zijden van deze zeshoek evenwijdig en even lang zijn.

We geven de hoekpunten A_i van de oorspronkelijke zeshoek willekeurige coördinaten (3x_i,3y_i) ( drievouden omdat we het zwaartepunt moeten berekenen). Het zwaartepunt van driehoek A_1A_2A_3 is het punt Z_1(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3). Analoge coördinaten voor de andere hoekpunten. We proberen nu aan te tonen dat Z_1Z_6 evenwijdig is met Z_3Z_4 en dat |Z_1Z_6|=|Z_3Z_4|.

  • De richtingsgetallen van Z_1Z_6 zijn (x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(x_6+x_1+x_2,y_6+y_1+y_2)=(x_3-x_6,y_3-y_6)  De richtingsgetallen van Z_3Z_4 zijn (x_3+x_4+x_5,y_3+y_4+y_5)-(x_4+x_5+x_6,y_4+y_5+y_6)=(x_3-x_6,y_3-y_6) Bijgevolg is Z_1Z_6 evenwijdig  met Z_3Z_4.
  • |Z_1Z_6|=\sqrt{(x_3-x_6)^2+(y_3-y_6)^2}=|Z_3Z_4|.

De sluitingsstelling van Thomsen

Neem een punt P_1 op de zijde [BC] van een driehoek ABC. Trek een evenwijdige met AC en noem het snijpunt met [AB] het punt P_2. Trek van daaruit een evenwijdige met BC en noem het snijpunt met [AC`] het punt P_3. Als je zo verder gaat komt je uiteindelijk terug in het punt P_1. Dit resultaat staat bekend als de sluitingsstelling van Thomsen.

Kies een doorloop zin voor de driehoek zodat een punt de zijde verdeelt in een ‘eerste ‘ en een ‘tweede ‘ deel. P_1 verdeelt [BC] in twee stukken met verhouding 1:k. Door de evenwijdigheid zal P_2 dan de zijde [AB] verdelen in 2 stukken met verhouding k:1

De verhouding keert dus om telkens we een andere zijde bereiken. Bij elke  3 stappen zitten we terug op het lijnstuk [BC].. Na 6 stappen komen we dus terug op [BC] en nu is de verhouding van de stukken dezelfde als in het begin. Dus P_7 zal samenvallen met P_1.

 

Dit resultaat danken we aan Gerhard Thomsen , een Duitse wiskundige die leefde van 23/6/1899 tot 4/1/1934.