Tag archieven: goniometrische ongelijkheid

Nog een goniometrische ongelijkheid

Geplaatst op door

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt:

    \[\cot \alpha.\cot \beta.\cot \gamma \leq \frac{\sqrt{3}}{9}\]

  • Als één van de hoeken groter is dan 90^{\circ} dan is de cotangens ervan negatief en klopt de eigenschap zeker.
  • Veronderstel dus dat alle hoeken scherp zijn, dan is de tangens functie convex en volgt uit de stelling van Jensen dat:  \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \geq 3\tan(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3})=3\sqrt{3}.
  • Men kan eenvoudig controleren dat \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma en dus is  \tan \alpha .\tan \beta .\tan \gamma \geq 3\sqrt{3}.
  • Als we het omgekeerde nemen vinden we dat  \cot \alpha .\cot \beta .\cot \gamma \leq \frac{1}{ 3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}.

Ongelijkheid met sinussen

Geplaatst op door

Sommige ongelijkheden kunnen zeer elegant worden opgelost door gebruik te maken van de ongelijkheid van Jensen. Voor concave functies ( bol , tweede afgeleide negatief) wordt dit :

    \[\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \leq f\Big( \frac{x+y+z}{3}\Big)\]

In een driehoek met hoeken \alpha,\beta en \gamma geldt :

    \[\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \ \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Omdat \alpha,\beta,\gamma hoeken zijn van een driehoek zijn \alpha,\beta,\gamma elementen van [0,\pi ]. De sinusfunctie is concaaf op dit interval, want \sin''(x)=-\sin x \leq 0 in [0,\pi ]. Dus is, volgens Jensen: \frac{\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Dus is \sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.