Tag archieven: hyperbool

Roosterpunten op een hyperbool

Geplaatst op door

Beschouw de vergelijking

    \[3x^2-4xy+5=0\]

Bij de vraag  naar oplossingen (x,y) van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

  • Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
  • De rationale oplossingen zijn

        \[\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}\]

    De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
  • Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking. 
    Omdat

        \[3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5\]

    moeten, als x en y geheel zijn, zowel x als 3x-4y gehele delers zijn van -5. Dit aantal is eindig.
    Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: (1,2),(-1,-2),(5,4) en (-5,-4)

Een meetkundige plaats

Geplaatst op door

Gegeven is een cirkel met middelpunt A en straal R en een punt B buiten de cirkel. Neem een willekeurig punt Q op die cirkel en bereken het snijpunt P van QA met de middelloodlijn van QB. Bepaal de meetkundige plaats van de punten P als Q zich op d ecirkel beweegt.

  • We schakelen Geogebra in om een inpressie te krijgen van die meetkundige plaats:
  • De oplossing lijkt een hyperbool te zijn. Omdat P op de middelloodlijn van QB ligt is |PQ|=|PB| en bijgevolg is |PA|+R=|PB| of

        \[|PB|-|PA|=R\]

    Het verschil van de afstanden van P tot twee vaste punten A en B is dus constant en daarom is de meetkundige plaats inderdaad een hyperbool.

  • In de tekening zijn ook de raaklijnen uit B aan de cirkel getekent ( met raakpunten D en E). Als Q samenvalt met D of E dan bestaat P niet, omdat QA dan loodrecht staat op QB en dus evenwijdig is met de middelloodlijn.
  • Als Q samenvalt met de snijpunten van AB met de cirkel, dan vinden we de toppen van de hyperbool.
  • Als Q de grote boog DE doorloopt, dan vinden we de linkertak van de hyperbool. Het andere deel van de cirkel coorespondeert dan met de rechtertak.