Principe van Cavalieri

Bonavatura Cavalieri ( 1598 – 1647) was een Italiaanse wiskundige. Hij is bij ons vooral gekend om het volgende principe: 

Twee objecten met dezelfde hoogte en met, op elke niveau , een dwarsdoorsnede met dezelfde oppervlakte, hebben een gelijk volume.

Zo kan men bijvoorbeeld  de inhoud van een bol bepalen:

Links zie je een halve bol met straal r en rechts een cilinder met straal r en hoogte r, waaruit een kegel gehaald is. De dwarsdoorsnede op een hoogte x boven het vlak P voor de linkse figuur  is een schijf met straal \sqrt{r^2-x^2}. De oppervlakte is dus \pi(r^2-x^2). De dwarsdoorsnede van de rechtse figuur is een ring begrensd door  twee cirkels met stralen r en x. De oppervlakte is \pi r^2-\pi x^2. Volgens het principe van Cavalieri hebben beide figuren dus hetzelfde volume. De inhoud van een halve bol is dus \pi r^2.r -\frac{1}{3} \pi r^2.r=\frac{2}{3}\pi r^3 en dus is de inhoud van een  bol gelijk aan \frac{4}{3}\pi r^3.

Het principe kan ook toegepast worden op de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen. Zo is  de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want elke dwarsdoorsnede heeft dezelfde lengte bij rechthoek en parallellogram.