Tag archieven: integraal

Opgave 34: Een integraal…

Geplaatst op door

Bereken A=\int_0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan x) dx

  • Gewone methoden werken hier niet.
  • Als een functie f gedefinieerd is op \left[a,b\right] dan kan je de functie spiegelen rond de middelloodlijn van dit lijnstuk en bekom je de functie g(x)=f(a+b-x).
  • Uit de definitie van de bepaalde integraal volgt dan dat \int_a^bf(x) dx=\int_a^b g(x) dx.
  • Passen we dit toe op de opgave , dan krijgen we: A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx.
  • Nu is tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tan x}{1+tan x}.
  • Zodat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln\Big( \frac{2}{1+ tan x}\Big) dx.
  • Gebruikmakend van de rekenregels voor logaritmen, volgt hieruit dat A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(2) dx -A.
  • Bijgevolg is A=\frac{\pi}{8} ln(2).

Opgave 4

Geplaatst op door

Onderzoek de convergentie van volgende rij

    \[u_n=\frac{1}{e}\int_0^1 x^n.e^x \ dx\]

Antwoord

  1. De integraal doet ons ongetwijfeld denken aan partiële integratie en het opstellen van een recursieformule.
  2. \int x^n.e^x\ dx = x^n.e^x-n.\int x^{n-1}.e^x\ dx, zodat u_n=1-n.u_{n-1}.
  3. Hoe kunnen we hiervan de limiet bepalen? Misschien toch iets anders proberen…
  4. Op [0,1] geldt dat 1\leq e^x \leq e omdat f(x)=e^x een stijgende functie is.
  5. Maar dan is \int_0^1 x^n \ dx \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq e.\int_0^1 x^n \ dx.
  6. Hieruit volgt dat \frac{1}{n+1} \leq \int_0^1 x^n.e^x \ dx \leq \frac{e}{n+1}.
  7. Dit geeft voor de rij u_n dat \frac{1}{e(n+1)} \leq u_n \leq \frac{1}{n+1}.
  8. Uit de insluiting stelling volgt dan dat de rij u_n convergeert naar 0.