Geschiedenis van de kansrekening: deel 3

Een volgende belangrijke stap in de ontwikkeling van de kanstheorie is het werk Analyticus des Probabilités (1812) van Pierre-Simon  Laplace(1749-1827)

 

Hij baseerde zijn kanstheorie op combinatieleer en gebruikte als definitie van kans de verhouding van het aantal gunstige gevallen tot het aantal mogelijke gevallen. Dit kan uiteraard enkel als elke uitkomst van het kansexperiment even waarschijnlijk is. Dit houdt een ernstige beperking in. Het werk van Laplace bevat belangrijke resultaten, maar de streng-wiskundige opbouw ontbreekt.

Na Laplace was er een ernstige verzwakking van de interesse voor de kanstheorie.  Er werd nog wel interessant werk verricht door P.L.Chebyshev(1821-1894), Markov(1856-1922) en Lyapunov(1857-1918), de grondleggers van de sterke hedendaagse Russische school in kanstheorie.

Kolmogorov

Andrei Nikolaevitch Kolmogorov ( 1903-1987) was een Russisch wiskundige. Op 17-jarige leeftijd begon hij zijn studies aan de staatsuniversiteit van Moskou. Zijn eerste onderzoeksresultaten verkreeg hij in de verzamelingenleer en de theorie van de Fourierreeksen.

In 1925 behaalde hij zijn graag aan de faculteit fysica en wiskunde. Via een samenwerking met Khinchin( 1894-1959)  groeide zijn interesse in de kanstheorie en in 1929 publiceerde hij voor het eerst een axiomatische opbouw van deze discipline. De resultaten verschenen in grundbegriffe der Warscheinlichkeits-rechnung ( Ergernis der Mathematiek,Berlin,1933).

In 1931 werd hij professor aan de universiteit. Naast de grondslagen van de kanstheorie leverde hij ook belangrijke bijdragen aan het bewijs van de sterke wet van de grote aantallen, Markovprocessen en partiële differentiaalvergelijkingen. Hij was ook erg begaan met het schrijven over onderwijs in het algemeen en over wiskunde-onderwijs in het bijzonder. Hij richtte een school op voor kinderen met een bijzondere begaafdheid voor wiskunde. In 1940 kreeg hij de Sovjet Staatsprijs voor zijn onderzoek in de theorie van de stochastische processen en later in 1965 kreeg hij voor zijn werk de Leninprijs, de hoogste onderscheiding in de Sovjetunie.

Waaruit bestaat nu die axiomatische opbouw? Als U de uitkomstenverzameling is van een kansexperiment, dan is wordt een kansfunctie P  gedefinieerd door volgende 3 axioma’s:

  • Het is een functie op de verzameling deelverzamelingen (gebeurtenissen) van U die met elke gebeurtenis een getal groter of gelijk aan nul associeert.
  • De  kansfunctie P beeldt U af op 1, m.a.w. P(U) = 1.
  • De kansfunctie beeldt de unie van twee gescheiden gebeurtenissen af op de som van de beelden van elke gebeurtenis: P(A of B) = P(A) + P(B) ( tenminste als A en B geen elementen gemeen hebben)