Tag archieven: koordenvierhoek

Koordenvierhoek

Geplaatst op door

 

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel gelegen zijn. Deze cirkel noemen we dan de omgeschreven cirkel.

Een paar eigenschappen:

  • Bij een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair en omgekeerd, als bij een vierhoek elke twee overstaande hoeken supplementair zijn, dan is die vierhoek een koordenvierhoek. Bijgevolg zijn een vierkant , een rechthoek , een gelijkbenig trapezium  allemaal koordenvierhoeken.
  • Van een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden  en omgekeerd (stelling van Ptolemeus): 
           

        \[AC.BD=AB.CD+AD.BC\]

  • De verhouding van de diagonalen van een koordenvierhoek is gelijk aan de verhouding van de sommen van de producten van de zijden, die in hun uiteinden samenkomen:

        \[\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+CD.BC}{AB. BC+AD.CD}\]

Sangaku 12

Geplaatst op door

 

Antwoord

  • We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten 
  • We zoeken naar een verband tussen a, b en c
  • Beschouw de koordenvierhoek ACDE
  • Daarin zijn |AD|=|AE|=c, |AC|=|CE|=b en |CD|=|CE|=a.
  • Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:

        \[bc=ab+ac\]

  • Delen door abc geeft uiteindelijk :

        \[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]

Stelling van Ptolemaeus

Geplaatst op door

De kans, dat 4 willekeurig gekozen punten in het vlak, op 1 lijn of 1 cirkel liggen is erg klein. Er moeten dus  wel speciale voorwaarden zijn om dit te doen gebeuren.  Zo een voorwaarde wordt gegeven in de stelling van Ptolemaeus:

Voor 4 willekeurige punten A,B,C en D in het vlak, geldt

    \[AB.CD+AD.BC \geq AC.BD\]

Er treedt gelijkheid op als de punten collineair of concyclisch zijn .

Enkele gevolgen:

  • Als ABCD een koordenvierhoek is en ABC een gelijkzijdige driehoek, dan is BD=AD+CD.
  • Als ABCD een koordenvierhoek is en de hoeken in B en D zijn recht, dan is BD=AC.\sin A ( schrijf de hoek A als som van twee hoeken en pas de domformule voor \sin(x+y) toe)