Nootje 20

Geplaatst op 17 maart 2021 door admin

Antwoord

Nootje 19

Geplaatst op 10 februari 2021 door admin

Antwoord

Volgens de formule voor partiële integratie is een primitieve functie $F(x)$ van de integrand gelijk aan $xf'(x)- \int f'(x) \text{ dx} = xf'(x)-f(x)$ .
Bereken nu $F(4)-F(1)$ .
Het resultaat is $4f'(4)-f(4)-f'(1)+f(1)=-8+7-1-4=-6$

Geplaatst op 5 januari 2021 door admin

Antwoord

Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus $A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ$ .
Hieruit volgt dat $A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x$ .
Kwadrateren geeft : $A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab)$ .
Volgens Pythagoras is $a^2+b^2= c^2$ , met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus $c=2y$ .
Verder is $ab$ gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus $ab=2A$ .
Ingevuld : $A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A)$ .
Vereenvoudigd: $A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A$ .
Hieruit kan je A oplossen:
$A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}$

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .