Opgave 17

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Antwoord

  • We roteren driehoek ABC rond A over 60°.
    BP’ is het beeld van CP en heeft dus lengte 5. Bovendien is driehoek APP’ gelijkzijdig en dus heeft PP’ lengte 3. Bijgevolg is driehoek BPP’ een 3-4-5 driehoek en dus rechthoekig.
  • Driehoek APP’ is gelijkzijdig en dus zijn alle hoeken 60°. Daarom meet de hoek BPA juist 90°+60°=150°.
  • We kunnen in driehoek BPA, met behulp van de cosinusregel de lengte van AB berekenen: |AB|^2=3^2+4^2-2.3.4.\cos 150°=25+12\sqrt{3}.
  • De zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC heeft als lengte \sqrt{25+12\sqrt{3}}.

Opgave 14

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Antwoord

  • We maken eerst een tekening
  • We kunnen beter bewijzen dat de oppervlakte van de driehoeken ABH en BJC dezelfde zijn door bij de opgave de oppervlakte van BIH toe te voegen aan beide delen.
  • Dus moet |BH|.|AC|=|JC|.|BC| of \dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|JC|}{|BH|}.
  • Nu zijn de driehoeken ACH en BGH gelijkvormig (HH= rechte hoek en overstaande hoeken), dus geldt \dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|HC|}{|BH|}. Bijgevolg rest ons te bewijzen dat |JC|=|HC|.
  • Ook driehoeken BJC en BED zijn gelijkvormig ( HH= gemeenschappelijke hoek en rechte hoek), dus is \dfrac{|JC|}{|ED|}=\dfrac{|BC|}{|BD|} of |JC|.|BD|=|BC|.|ED|. Bijgevolg is |JC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|.
  • Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AHC en AGF volgt op een analoge wijze dat |HC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|.
  • Uit de twee laatste  formules volgt dan inderdaad dat |JC|=|HC|, net wat we wilden bewijzen.