Regelmatige veelvlakken

Een regelmatig veelvlak is een veelvlak met volgende eigenschappen:

  • Alle zijvlakken zijn congruente regelmatige veelhoeken.
  • In elk hoekpunt komen evenveel zijvlakken samen.
  • Ze zijn convex
  • De hoeken tussen de zijvlakken zijn steeds hetzelfde.
  • Voor het aantal ribben (R), het aantal grensvlakken (G) en aantal hoekpunten (H) van een convex lichaam geldt de formule van Euler: R + 2 = G + H

Er zijn er 5; ze worden ook wel eens de Platonische lichamen genoemd naar Plato(427 BC – 347BC), die ze het eerst beschreef.

Plato bracht de vijf regelmatige veelvlakken ook in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie.

Verbindt men de middens van de zijvlakken van een veelvlak met elkaar, dan vormen de verbindingslijnen de ribben van een ander veelvlak. Een viervlak blijft een viervlak, maar een kubus wordt een octaëder en omgekeerd. Een dodecaëder wordt een icosaëder en omgekeerd. De kubus en de octaëder zijn het duale veelvlak van elkaar, de dodecaëder en de icosaëder ook.

Plato en de verdubbeling van de kubus

Het probleem van het ’verdubbelen van de kubus’  luidt: construeer de ribbe van een kubus die een twee keer zo grote inhoud heeft als die van een gegeven kubus.

 

Volgens de legende consulteerden de burgers van Athene het orakel van Apollo in Delos in 430 v.Chr. om te horen hoe zij de pest, die een vernietigende werking had op hun land, moesten bestrijden. Het orakel antwoordde dat, om de pest te stoppen, zij hun altaar in grootte moesten verdubbelen. De Atheners verdubbelden plichtsgestrouw elke zijde van het altaar, en de pest verslechterde! De correcte interpretatie was dat zij het volume van het altaar moesten verdubbelen, niet slechts de lengte van de zijdes; dit bleek een zeer moeilijk oplosbaar probleem. Ten gevolge van deze legende wordt het probleem vaak het Delische probleem genoemd.

De oude Grieken poogden de constructie uit te voeren met behulp van ’hun’ constructiemiddelen: de passer en liniaal. Maar het bleek daarmee niet te kunnen.
Vele eeuwen later werd bewezen dat de oplossing met passer en liniaal niet mogelijk is.
Echter, er zijn wel andere middelen om de constructie uit te voeren. Zo heeft Nicomedes (ca. 180 v.Chr.) de conchoïde, een bijzondere kromme lijn, ontdekt waarmee hij de oplossing kon construeren.

Wij geven een eenvoudige oplossing die toegeschrevn wordt aan Plato. Stel dat de gegeven kubus een ribbe heeft met lengte a en de gevraagde kubus een ribbe met de lengte x. Dan kunnen we het probleem als volgt omschrijven:
Gegeven: a; Construeer: een x die voldoet aan 

    \[x^3 = 2a^3\]

;

Denk je een rechthoekig trapezium ABCD waarin de diagonalen loodrecht op
elkaar staan .

Als we SC de lengte a geven en SB de lengte 2a, dan zal DS  of p dus, gelijk zijn aan de gevraagde  afstand. Het is duidelijk dat de driehoeken 1,2 en 3 allen gelijkvormig zijn ( gelijk hoeken via verwisselende binnenhoeken of complementen van verwisselende binnenhoeken). Hieruit volgt dat \frac{a}{p}=\frac{p}{q} of p^2=aq. Verder is ook \frac{a}{p}=\frac{q}{2a} of q=\frac{2a^2}{p}. Als we deze twee formules samnevoegen krijgen we p^3=2a^3 en dus is p het gewenste antwoord.