Opgave 28

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Antwoord

  • Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de twee andere zijden. Bijgevolg is de langste zijde van de gezochte driehoeken \leq 1009.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1009, dan kunnen de andere twee zijden gelijk zijn aan : (1009,1),(1008,2),\cdots,(505,505). Er zijn dus 505 mogelijke driehoeken.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1008, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (1008,3),(1007,4),\cdots,(506,505). Er zijn dus 503 mogelijke driehoeken.
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1007, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (1007,5),(1006,6),\cdots,(506,506). Er zijn dus 502 mogelijke driehoeken.
  • Daal verder af…
  • Stel dat de langste zijde gelijk is aan 674, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: (674,671),(673,672). Er zijn dus 2 mogelijke driehoeken.
  • Tenslotte blijft er de gelijkzijdige driehoek met zijde 673 over.
  • Het totaal aantal mogelijkheden is S=505+503+502+500+\cdots+4+2+1.
  • Herschikking geeft S=505+(503+1)+(502+2)+(500+504)+\cdots. Dit geeft S=505+504 \times 168 =85177.