Tag archieven: zoek het patroon

Een patroon zoeken…

Geplaatst op door

Stel f_0(x)=\dfrac{1}{1-x} en f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x)) voor n=1,2,3,...  Bereken dan

    \[f_{2022}(2022)\]

Het is onwaarschijnlijk dat je alle functies f_n(x), waarbij n varieert van 1 tot n, zal moeten berekenen. Waarschijnlijk zit er ergens een patroon in…

Antwoord

 

  • f_1(x)=\dfrac{1}{1-f_0(x)}=\dfrac{x-1}{x}.
  • f_2(x)=\dfrac{1}{1-f_1(x)}=x.
  • Maar dan is f_3(x)=f_0(x).
  • Algemeen is f_{3n}(x)=f_0(x), f_{3n+1}(x)=f_1(x) en f_{3n+2}(x)=f_2(x).
  • Omdat 2022 deelbaar is door 3, zal f_{2022}(x)=f_0(x).
  • En dus is f_{2022}(2022)=-\dfrac{1}{2021}.