Uitdaging 3 en 4

Geplaatst op door

Voor welke waarden van k is x^3+y^3+z^3+kxyz deelbaar door x+y+z?

Antwoord

  • Als x^3+y^3+z^3+kxys deelbaar is door x+y+z, dan bestaat er een Q(x,y,z) zodat

        \[x^3+y^3+z^3+kxyz=(x+y+z)Q(x,y,z)\]

  • Vervang nu in beide leden x door 2, en y en z door -1, dan vind je 8-1-1+2k=0 of m.a.w. k=-3.

Een veelterm f(x)  met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat  f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.

Antwoord

  • Noteer de veelterm f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0.
  • Omdat f(0) oneven is moet a_0 een oneven getal zijn.
  • Omdat f(1) even is moet a_n+\cdots+a_1+a_0 ook oneven zijn.
  • Stel nu dat c een gehele nulwaarde is van f(x), dan is a_nc^n+\cdots+a_1c+a_0=0.
  • Als c even is dan is het linkerlid van deze ongelijkheid oneven en kan dus nooit nul zijn.
  • Als c oneven is, dan krijgen we modulo 2 dat a_n+\cdots+a_1+a_0 \equiv 0. Maar ook dat is onmogelijk want het linkerlid is oneven en kan dus nooit  nul zijn.
  • Dus heeft f(x) geen gehele nulwaarden.