Vierkanten tellen

Geplaatst op door

 
Hoeveel vierkanten zitten er in een rooster?
 
 
Een klassieke vraag in de recreatieve wiskunde is de volgende: Een vierkant is verdeeld in kleine vierkantjes. Hoeveel vierkanten kan je daarin vinden?
 
Op het eerste gezicht zou je misschien antwoorden: evenveel als het aantal kleine vakjes. Maar dat klopt niet helemaal. In een rooster zitten niet alleen kleine vierkantjes, maar ook grotere vierkanten die uit meerdere kleine vakjes bestaan.
 
We bekijken eerst een concreet voorbeeld.  Een rooster van 5 \times 5
 
Neem een vierkant rooster van 5 op 5. Het rooster bestaat dus uit 25 kleine vierkantjes.
 
Maar daarnaast zijn er ook grotere vierkanten.
 
We tellen per grootte.
 
Vierkanten van 1 \times 1 : 5^2=25
Vierkanten van 2 \times 2: 4^2=16
Vierkanten van 3 \times 3: 3^2=9
Vierkanten van 4 \times 4: 2^2=4
Vierkanten van 5 \times 5: 1^2=1
 
 
 
Het totaal aantal vierkanten is dus: 25+16+9+4+1=55
 
In een rooster van 5 \times 5 zitten dus 55 vierkanten. Waarom komen die kwadraten voor?
 
Bekijk bijvoorbeeld de vierkanten van 2 \times 2 in een rooster van 5 \times 5.
 
Zo een vierkant kan horizontaal op 4 verschillende plaatsen beginnen en verticaal ook op 4 verschillende plaatsen. Daarom zijn er 4^2=16 vierkanten van 2 \times 2.
 
Het algemene geval
 
Neem nu een rooster van n \times n kleine vierkantjes.
 
Dan zijn er:
 
– n^2 vierkanten van 1 \times 1;
– (n-1)^2 vierkanten van 2 \times 2;
– (n-2)^2 vierkanten van 3 \times 3;
– enzovoort;
– 1^2 vierkant van n \times n.
 
Het totaal aantal vierkanten is dus: n^2+(n-1)^2+(n-2)^2+\cdots+1^2
Voor deze som bestaat een mooie formule: 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}
 
Daarom is het aantal vierkanten in een rooster van n \times n gelijk aan:
 

    \[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\]

 
## Controle voor n=5
 
We vullen n=5 in: \frac{5\cdot 6\cdot 11}{6}=55. Dat is precies het aantal dat we eerder vonden.