Opgave 8

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

    \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2\]

Antwoord

  • Omdat a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, weten we dat elke zijde kleiner is dan de som van de twee andere zijden. Dus bijvoorbeeld a<b+c
  • Dan is \frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}.
  • Door toepassing van de driehoeksongelijkheid op het eerste deel van de noemer vinden we dat

        \[\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}\]

    .

  • Op analoge wijze vinden we dat \frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c} en  \frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}.
  • Alles samenvoegen geeft

        \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\]