Lengte zwaartelijn en bissectrice

Om de lengte van een zwaartelijn te berekenen, gebruiken  we de cosinusregel in de driehoeken ABD en ACD voor b^2 en c^2. Optellen van de formules geeft:

    \[4z_a^2=2b^2+2c^2-a^2\]

Als a\geq b\geq c dan is z_a \leq z_b\leq z_c. Want 4(z_a^2-z_b^2)=3(b^2-a^2). Dus bij de langste zijde hoort de kortste zwaartelijn.

Het berekenen van de lengte van een bissectrice is heel wat lastiger. Noteer c=|BD| en y=|DC|.

Een bissectrice in een driehoek verdeelt de overstaande zijde in de verhouding van de aanliggende zijdes, dus x:y=c:b. Volgens de eigenschappen van evenredigheden volgt hieruit dat (x+y):y=(c+b):b of y=\frac{ab}{b+c} en analoog x=\frac{ac}{b+c}. Teken nu een punt E zodat de hoek ACE gelijk is aan de hoek ADB. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACE en ADB volgt dat |AE|.d_a=bc en uit de gelijkvormigheid van de driehoeken DEC en ABD volgt dat |DE|.d_a=xy. Door die twee formules van elkaar af te trekken vinden we dat:

    \[d_a^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\]

Net zoals bij de zwaartelijnen kunnen we besluiten dat bij de langste zijde de kortste bissectrice hoort.

Door gebruik te maken van deze formules kan je door algebraïsche berekeningen meetkundige eigenschappen bewijzen, zoals bijvoorbeeld: De langste bissectrice is minstens even lang als de kortste zwaartelijn. Als a\geq b\geq c dan komt dit neer op d_c \geq z_a.

Opgave 25

Wanneer is het produkt P van de eerste n natuurlijke getallen deelbaar door hun som S?

Antwoord

  • Omdat deelbaarheid van een getal door een ander getal een kwestie is van aan te tonen dat de factoren van ene getal ook factoren zijn van het andere getal, gaan we de som 1 + 2 + 3 +… + n vervangen door  \frac{1}{2}n(n+1).
  • Voor n = 1 is het duidelijk dat er deelbaarheid is. We nemen dus n>1.
  • Er is geen reden om n op een bepaalde manier te bekijken, dus zijn we het best gediend met 2 hoofdgevallen te bekijken : n even en n oneven.
  • Als n oneven is, stellen we n = 2m + 1. Dan is S=(2m+1)(m+1) en P=1.2....m(m+1)....(2m+1). Het is duidelijk dat de twee factoren  2m+1 en m+1 in S ook factoren zijn van P. Besluit: als n oneven is dan is P altijd deelbaar door S.
  • Als n even is, stellen we n=2m en dan is S=m(2m+1) en P=1.2.....m.....2m. De factor m uit S is dus zeker al een factor van P.
  • Rest dus nog de vraag wanneer \frac{1.2...m....2m}{m} deelbaar is door 2m+1? Als 2m+1 een priemgetal is komt het zeker niet voor in 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Als 2m+1 geen priemgetal is dan schrijven we 2m+1=a.b met 1<a\leq b. Dit betekent onder meer dat 2m \geq 3. Uiteraard is b\leq 2m-1 . Als nu a<b, dan staan beide factoren a en b in het produkt 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Blijft nog de mogelijkheid dat a=b. Het is duidelijk dat a>2, waaruit volgt dat a-1 \geq 2 , a^2-a\geq 2a, a^2-2>2a en dus 2m-1>2a. Hieruit volgt dat a en 2a allebei als factoren voorkomen in 1.2....(m-1)(m+1)...2m.
  • Algemeen besluit: P is niet deelbaar door S als n+1 een oneven priemgetal is.