Opgave 26


Geef alle rechthoekige driehoeken waarvan de zijden natuurlijke getallen zijn en waarvan de oppervlakte tweemaal de omtrek is

Antwoord


  • Bij een rechthoekige driehoek met gehele getallen denken we onmiddellijk aan Pythagorese drietallen. De zijden zijn van de vorm a=d(u^2-v^2),b=2uvd en c=d(u^2+v^2). Hierbij zijn u en v onderling ondeelbaar en is één ervan even en de ander oneven. Bovendien is d de grootste gemene deler van de drie zijden en u>v.
  • De voorwaarde dat de oppervlakte het dubbel is van de omtrek betekent dat ab=4(a+b+c) of uitgedrukt in u en v : (u-v)vd=4.
  • Omdat u-v zeker oneven is en een deler is van 4 moet u-v=1. Ook moet v=1,2 of 4. Hieruit volgt dat u=2,3 of 5 en d=4,2 of 1.
  • We vinden dus 3 driehoeken die voldoen aan de gegeven voorwaarden: (12,16,20),(10,24,26) en (9,40,41).