Maandelijks archief: mei 2025

Priemgaten

Geplaatst op door

Het verschil tussen twee opeenvolgende priemgetallen wordt ook wel eens het priemgat genoemd. Wiskundigen hebben altijd geprobeerd om een systeem te vinden in de reeks priemgetallen 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… Er werd lang gezocht naar de gaten die deze reeks bevat, dus de verschillen tussen twee opeenvolgende priemgetallen. De grootte van het gemiddelde gat groeit als het natuurlijke logaritme van de priemgetallen die het begrenzen. 

In 1985 formuleerde een Roemeens wiskundige Dorin Andrica(1956-) een eigenschap over deze gaten. Het is weer te geven als :

Hierbij zijn p_n en p_{n+1} twee opeenvolgende priemgetallen en stelt het linkerlid dus het priemgat voor. Dit resultaat is tot op heden niet bewezen voor alle priemgetallen, maar er is ook nog geen tegenvoorbeeld gevonden.

Het vermoeden van Andrika  beperkt de maximale grootte van priemgaten: hoewel priemgaten steeds groter worden naarmate priemgetallen groter worden, suggereert het vermoeden dat ze nooit sneller groeien dan ongeveer \sqrt{p_n}.

 

Opgave 43

Geplaatst op door

Een rij wordt gedefinieerd als : a_0=0 en a_{k+1}=3a_k+1. Toon aan dat a_{155} deelbaar is door 11.

Antwoord

  • We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
  • Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
  • Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is a_{155} deelbaar door 11.
  • We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben:

De constante van Euler-mascheroni

Geplaatst op door

De constante van Euler-Mascheroni, vaak aangeduid als \gamma, is een wiskundige constante die belangrijk is in verschillende takken van de wiskunde, zoals de analyse en de getaltheorie. Deze constante wordt vaak geschreven als  \gamma \approx 0,57721 en is genoemd naar de Zwitserse wiskundigen Leonhard Euler(1707-1783) en Lorenzo Mascheroni (1750-1800), die onafhankelijk van elkaar belangrijke bijdragen leverden aan de studie ervan.

 

 

 

 

 

 

 

Wat deze constante zo interessant maakt, is dat deze voorkomt in verschillende contexten, waaronder sommen van reeksen, integraalrekeningen, en zelfs in de analyse van complexe getallen. Ze is gerelateerd aan de Riemann-zetafunctie, de priemgetalstelling en de gammafunctie. Het is ook nauw verbonden met de verdeling van priemgetallen, een gebied van de wiskunde dat wiskundigen al eeuwenlang fascineert.

De definitie van de constante van Euler omvat twee schijnbaar ongerelateerde wiskundige concepten: de harmonische reeks en de natuurlijke logaritmefunctie. Het feit dat deze twee concepten nauw met elkaar verbonden zijn door deze constante is een bewijs van de schoonheid en onderlinge verbondenheid van de wiskunde.

We weten op dit moment nog steeds niet of dit getal uitgedrukt kan worden als een breuk. Een andere interessante eigenschap van de constante van Euler is dat deze transcendentaal is. Dit betekent dat het geen wortel is van een algebraïsche vergelijking met gehele coëfficiënten.

Titus’Lemma

Geplaatst op door

Deze ongelijkheid staat bekend als Titus’ lemma. Het is vernoemd naar de Roemeense wiskunde Titu Andreescu die bekend staat om zijn bijdragen aan de wiskundige olympiades en de wiskundige literatuur. Het staat ook bekend als  T2 lemma, Engel’s vorm  of de ongelijkheid van Sedrakyan.

Titus’ Lemma biedt een krachtige methode om bewijzen te construeren in problemen met ongelijkheden, vooral in contexten waarbij meerdere variabelen en beperkingen betrokken zijn. Het lemma zelf kan op verschillende manieren worden geformuleerd, afhankelijk van de specifieke toepassing, maar de kern ervan draait om het gebruik van de Cauchy-Schwarz ongelijkheid en de methode van “rearrangement” (herordening) van variabelen.

 

Toepassing 1: als a+b+c = 1 en a, b en c zijn positieve getallen,  wat is dan de minimumwaarde van

Volgens het gegeven lemma is \frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}\geq \frac{(1+2+3)^2 )}{a+b+c}=36. De waarde van 36 kan bereikt worden voor a=\frac{1}{6},b=\frac{2}{6} en c=\frac{3}{6}. De minimum waarde is dus 36.

 

Toepassing 2:Bewijs:

Door toepassing van het lemma van Titus weten we dat het linkerlid groter dan of gelijk is aan \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}, wat het gewenste resutaat geeft.