Mersenne priemgetallen

Geplaatst op 27 juli 2025 door admin

Een Mersenne-priemgetal is een speciaal soort priemgetal dat de vorm heeft:

$M_n=2^n-1$

waarbij n een natuurlijk getal is. Bijvoorbeeld:

$2^2-1=3$
$2^3-1=7$
$2^5-1=31$

Als zowel een priemgetal is én $2^ n-1$ óók een priemgetal oplevert, dan spreken we van een Mersenne-priemgetal.

Let op: niet elke waarde van die priem is, levert automatisch een Mersenne-priemgetal op. Zo is n = 11 een priemgetal, maar $2^{11}=2047=23*89$ is geen priemgetal

De naam Mersenne verwijst naar de Franse monnik en wiskundige Marin Mersenne (1588–1648). In zijn tijd onderzocht hij priemgetallen van de vorm $2^n-1$ en stelde hij een lijst samen van getallen waarvan hij dacht dat ze Mersenne-priemgetallen waren. Hoewel zijn lijst deels incorrect bleek (hij vergiste zich bij sommige waarden), werd zijn werk een belangrijk startpunt voor verder onderzoek naar deze getallen. Sindsdien zijn wiskundigen, zowel amateurs als professionals, gefascineerd geraakt door de unieke eigenschappen van Mersenne-priemgetallen.

In 1750 stelde Euler vast dat $M_{31}$ priem was. In die tijd waren er 8 gekende Mersenne priemgetallen, voor $p=2,3,5,7,13,17,19,31$ . $M_{31}$ bleef ongeveer een eeuw het grootste gekende Mersenne priemgetal. In 1876 vond de Franse wiskundige Lucas (1842-1891) een grotere: $M_{127}$ , een getal van 39 cijfers! De eerste 12 Mersenne priemgetallen (de 8 vorige en deze voor $p=61,89,107$ en $p=127$ ) werden allemaal met pen en papier berekend.

Met de komst van de eerste computers werden later ook priemen gevonden voor $p=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213$ , met dank aan de Amerikaanse wiskundigen Lehmer en Robinson.

George Woltman, een software ontwikkelaar, richtte in 1996 het GIMPS-project (Great Internet Mersenne Prime Search) op, dat wereldwijd vrijwilligers laat meerekenen. Het GIMPS is verantwoordelijk voor het vinden van de grootste priemgetallen ooit ontdekt, allemaal Mersenne-priemgetallen.

Momenteel is zijn er 52 Mersenne priemen gevonden en het grootste is gevonden voor $p=136279841$ . Het werd ontdekt op 12 oktober 2024 door Luke Durant uit San José (Californië).

Om het aantal cijfers te berekenen van $M_n$ , stellen we eerst vast dat $M_n$ en $M_n+1=2^n$ het zelfde aantal cijfers bevatten. Om het aantal cijfers van $2^n$ te bepalen , berekenen we $A=\log 2^n=n*\og 2\approx 0,30103*p$ . Voor bijvoorbeeld $M_{11213}$ , vinden we $A=3375,449...$ en dus dat $M_{11213}$ bestaat uit 3376 cijfers.

Hieronder zie je de grafiek van de exponenten van ontdekte Mersenne-priemgetallen door de tijd heen. Eeuwenlang bleef de exponent laag (onder de 1000). Vanaf de 20e eeuw, en vooral sinds de oprichting van GIMPS (1996), is er een explosieve stijging te zien.

De rij van Farey

Geplaatst op 23 juli 2025 door admin

De Rij van Farey van orde $n$ , aangeduid als $F_n$ , is een verzameling van alle rationele getallen tussen 0 en 1 die vereenvoudigd kunnen worden tot breuken met een noemer die niet groter is dan $n$ . Met andere woorden, elk element in $F_n$ heeft de vorm $\frac{a}{b}$ , waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn, $0<a\leq b\leq n$ , en de grootste gemene deler van $a$ en $b$ gelijk is aan 1. De elementen in de Farey-rij zijn gerangschikt in volgorde van toenemende grootte. De rij is vernoemd naar de Britse geoloog John Farey(1766-1826)

Voorbeelden:

Door een beetje op te letten kan je gemakkelijk de Farey-rijen samenstellen:

In de rij $F_n$ komen er vergeleken met de vorige rij, alleen breuken bij met noemer n.
En die komen steeds tussen twee breuken van de vorige rij waarvan de noemers samen n zijn.
Bij de rode pijltjes in de figuur zie je welke breuken er in $F_5$ bijkomen. Steeds zijn beide noemers uit F₄ samen 5. Je weet de teller van die nieuwe breuken ook al: het is steeds de som van de tellers van de vorige rij (zie een eigenschap hieronder).

Enkele eigenschappen:

Het aantal elementen in de rij $F_n$ wordt gegeven door de formule
$1+\sum_{k=1}^{n}\varphi(k)$
waarbij $\varphi(k)$ het aantal natuurlijke getallen kleiner dan k en onderling ondeelbaar met k, voorstelt.
Voor twee buren in de rij van farey: $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ geldt: $bc-ad=1$ .
Voor 3 opeenvolgende elementen van de Farey rij geldt dat tussen $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ het getal $\frac{a+c}{b+d}$ gelegen is.

Hieronder zie je nog het Farey-diagram voor $f_5$ :

en een Farey-graaf:

Nootje 60

Geplaatst op 19 juli 2025 door admin

Op een veld graast een kudde schapen. Sommige schapen zijn gemerkt, en de verhouding tussen gemerkte en ongemerkte schapen is 3 op 5. Slechts 17 van de ongemerkte schapen zijn geschoren, en alle gemerkte schapen zijn geschoren. Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is echter gelijk. Bereken het aantal schapen dat op het veld graast.

Antwoord

Stel dat het aantal gemerkte schapen 3x is, dan is volgens de voorwaarde het aantal ongemerkte schapen 5x, dus het totale aantal schapen is 8x.

Van de ongemerkte schapen zijn er 17 geschoren, dus 5x − 17 daarvan zijn niet geschoren.

De 3x gemerkte schapen zijn allemaal geschoren, dus het totale aantal geschoren schapen is 3x + 17.

Het aantal geschoren en ongeschoren schapen is gelijk, dus 3x + 17 = 5x − 17, en hieruit volgt dat x= 17. Bijgevolg is het totaal aantal schapen gelijk aan 8 * 17 =136

Amerika en de Europese Unie

Geplaatst op 6 juli 2025 door admin

De manier waarop Amerikaanse invloeden de Europese Unie hebben beïnvloed, vooral in recente jaren, is een interessant onderwerp. Amerika en de EU hebben een complexe relatie die zich uitstrekt over politiek, economie en cultuur.

Een belangrijk aspect van deze relatie is de druk die Amerika vaak uitoefent op Europese landen en de EU als geheel om bepaalde beleidslijnen te volgen. Dit kan variëren van handelsbeleid tot buitenlands beleid en normen voor gegevensbescherming. Bijvoorbeeld, in de context van handel, hebben Amerikaanse bedrijven en de regering vaak geprobeerd om Europese regelgeving te beïnvloeden om handelsbarrières te verminderen of om gunstiger voorwaarden te creëren voor Amerikaanse bedrijven die in Europa opereren.

Een ander gebied waarin Amerikaanse invloed zichtbaar is, is op het gebied van veiligheid en defensie. Amerikaanse en Europese veiligheidsbelangen overlappen vaak, maar er zijn ook spanningen geweest over militaire uitgaven en de rol van de NAVO.

Cultuur en technologie zijn ook belangrijke terreinen waarop Amerikaanse invloed voelbaar is. De dominantie van Amerikaanse technologiebedrijven zoals Google, Facebook en Apple heeft Europese regelgevers gedwongen om na te denken over gegevensbescherming, antitrustwetgeving en belastingkwesties.

Laat ons even terugkeren naar het begin…

Na de verwoestende Tweede Wereldoorlog bevond Europa zich in een precaire positie. Steden lagen in puin, economieën waren geruïneerd en miljoenen mensen waren ontheemd. In deze context zag de Verenigde Staten een aantal cruciale belangen in een verenigd en hersteld Europa. De Verenigde Staten zagen een verenigd West‑Europa als essentieel tegen de Sovjetdreiging. Via diplomatieke druk en politieke steun stimuleerden ze Europese samenwerking. Amerikaanse hoogste functionarissen, zoals Hoge Commissaris Jack McCloy in Duitsland, beïnvloedden actief figuren als Jean Monnet en Robert Schuman om stappen richting economische integratie te ondernemen:

Tegen de Spreiding van het Communisme: De grootste angst van de VS was dat de economische chaos en sociale onrust een vruchtbare voedingsbodem zouden vormen voor de verspreiding van communistische ideologieën, die vanuit de Sovjet-Unie oprukten. Een sterk, stabiel en democratisch Europa diende als een cruciale buffer tegen deze dreiging.
Economisch Herstel en Handel: Een versnipperd Europa met onderlinge handelsbarrières belemmerde niet alleen het eigen herstel, maar ook de Amerikaanse export en de wereldhandel in het algemeen. De VS had belang bij een welvarend Europa dat kon bijdragen aan een stabiele wereldeconomie.
Preventie van Nieuwe Conflicten: De geschiedenis had laten zien dat een verdeeld Europa met frequente conflicten de wereld in rampspoed kon storten. Een geïntegreerd Europa zou de kans op nieuwe oorlogen tussen Europese naties aanzienlijk verkleinen, wat de mondiale stabiliteit ten goede kwam.

Het Marshallplan, officieel het European Recovery Program (ERP), speelde een sleutelrol. Hoewel de primaire doelstelling economisch herstel was, kwam de Amerikaanse hulp met een duidelijke voorwaarde: Europese samenwerking. De VS drong er sterk op aan dat de Europese landen gezamenlijk plannen zouden maken voor de besteding van de Marshallhulp en hun economieën zouden integreren. Dit werd gezien als essentieel voor een efficiënt en duurzaam herstel. De organisatie voor Europese Economische Samenwerking (OEES), die ontstond om het Marshallplan te coördineren, kan worden gezien als een vroege voorloper van latere Europese instellingen. De opvolger van Marshall, Acheson was een overtuigd voorstander van de Europese integratie en speelde een belangrijke rol in de implementatie van het Marshallplan en de oprichting van de NAVO. Hij zag de Atlantische alliantie en de Europese eenwording als complementaire pijlers van de westerse veiligheid en welvaart.

Naast financiële prikkels oefende de VS ook aanzienlijke politieke en diplomatieke druk uit. Amerika moedigde de vorming van supranationale instellingen aan die verder gingen dan traditionele intergouvernementele samenwerking. Men zag in dat puur nationale oplossingen onvoldoende waren om de uitdagingen van de naoorlogse periode het hoofd te bieden.

De Amerikanen steunden actief initiatieven zoals de Europese Gemeenschap voor Kolen en Staal (EGKS), die de controle over cruciale oorlogsindustrieën deelde om toekomstige conflicten te voorkomen. Dit was een radicaal concept, maar het paste perfect in het Amerikaanse streven naar een verenigd en vreedzaam Europa. Het concept van een Kolen- en Staalgemeenschap (EGKS) werd deels gemodelleerd naar Amerikaanse New Deal‑instrumenten, zoals de Tennessee Valley Authority. Dit “vehikel” voor samenwerking werd gepusht door Washington en winst voor zowel Frankrijk als Duitsland werd benadrukt

Niet alle Europese landen waren direct overtuigd van de noodzaak of wenselijkheid van verregaande integratie, zeker niet onder druk van buitenaf. Er was vrees voor verlies van soevereiniteit en nationale identiteit. Toch wogen de voordelen uiteindelijk zwaarder:

De economische noodzaak was immens; Amerikaanse hulp was onmisbaar voor herstel.
De dreiging van de Koude Oorlog creëerde een gevoel van urgentie en de noodzaak om een verenigd front te vormen.
De Amerikaanse steun gaf een belangrijke impuls en legitimiteit aan de pro-Europese krachten binnen de verschillende landen.

Als de hoogste Amerikaanse autoriteit in het bezette West-Duitsland in de vroege jaren 50, speelde McCloy een cruciale rol in de reïntegratie van West-Duitsland in de Europese gemeenschap. Hij moedigde Duitse deelname aan de EGKS actief aan en zag dit als een manier om de Duitse democratie te verankeren en de kans op nieuwe conflicten te minimaliseren. Zijn rol was essentieel voor het succes van de West-Duitse integratie in West-Europa.

Europa heeft nooit overwogen Amerika uit zijn rol van verdediger te mogen ontslaan. De militaire en strategische bescherming die de VS boden, hield Europa erin dat het zelf opkwam voor zijn veiligheid – en zo bleef de relatie grotendeels asymmetrisch

Nootje 59

Geplaatst op 3 juli 2025 door admin

Bereken:
$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\sin^n x+\cos^n x} dx$

Antwoord

We voeren een substitutie uit: $t=\frac{\pi}{2}-x$ .
Dan is
$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} (-dt)$
Het minteken gebruiken we om de grenzen om te draaien. Dus:

$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n t}{\sin^n t+\cos^n t} dt$
Door dit resultaat op te tellen bij de opgaven vinden we dat $2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} dx$
Dus $I=\frac{\pi}{4}$ .
We kunnen dit veralgemenen tot
$\int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=\frac{b-a}{2}$
Je kan deze formule bewijzen door de substitutie $x=a+b-t$ uit te voeren en dan verder te werken zoals hierboven.

Wiskunde is leuk

Maandelijks archief: juli 2025