Maandelijks archief: november 2025

nootje 65

Geplaatst op door

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor n+6 priem is en 9n+7 een volkomen kwadraat is.

Antwoord

  • 9n+7=9(n+6)-47 .
  • n+6 is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is 9(n+6)-47 een even getal als verschil van twee oneven getallen.
  • Omdat 9n+7 een volkomen kwadraat moet zijn, moet 9n+7=(2m)^2.
  • Hieruit volgt dat n=\frac{4m^2-7}{9}.
  • Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking 4m^2-7 deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
  • Als m=2 dan is n=1 wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn. 
  • Als m=7 dan is n=21, maar dan is n+6=27 en dat is geen priemgetal.
  • Als  m=11 dan is n=53 en n+6=59 en dat is wel priem.
  • n=53 is  het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.

 

Klok met verwisselde wijzers.

Geplaatst op door

Een klok werd om zes uur ’s ochtends in werking gesteld, maar al snel zag men dat de minutenwijzer met de snelheid van de urenwijzer rondging terwijl de urenwijzer met de snelheid van de minutenwijzer ronddraaide. Wanneer geeft de klok voor het eerst weer de juiste tijd aan? 

Dit is een bekende puzzel van Sam Loyd(1841-1911). Samuel Loyd was een Amerikaanse schaker, schaakcomponist, puzzelauteur en recreatief wiskundige.

De klok staat op 6:00, dus de kleine wijzer op 6, grote wijzer op 12. Bij een normale klok  draait de urenwijzer 30° per uur = 0,5° per minuut en de minutenwijzer  360° per uur = 6° per minuut. Maar in deze klok draait de kleine wijzer draait 6° per minuut en de grote wijzer  0,5° per minuut. Bij de start staat de kleine wijzer (urenwijzer) staat op 180° en de grote wijzer (minutenwijzer) op 0°.

Na t minuten staat de kleine wijzer op 180+6t graden en de grote wijzer op graden. We willen het moment dat de klok weer een geldig tijdstip toont — dat wil zeggen: de wijzers staan op posities die overeenkomen met een echte tijd. In de echte klok geldt bij een echte tijd minuten na 6:00: kleine wijzer: 180+0,5t′ en grote wijzer: 6t′. We eisen dus :

Uit de tweede vergelijking halen we dat t'=\frac{t}{12}. Invullen in de eerste vergelijking bekomen we \frac{143}{24}t \equiv 0 \mod 360. De oplossing t=0 willen we natuurlijk niet, de eerstvolgende oplossing is \frac{24}{143}360° \approx 60,42. Na ongeveer 1 uur en 25 seconden krijg je weer de exacte tijd.

U(ZC_5) en U(ZC_7) met computersoftware

Geplaatst op door

Het berekenen van eenheden in de gehele groepsringen over eindige cyclische groepen vergt heel wat rekenwerk. Programma’s zoals GAP, Sagemath en Pari/GP kunnen daarbij zeker helpen. Voor de priemgetallen n=5 en n=7 kan je in ZC_5 en ZC_7 het resultaat ervan zien. We hanteren telkens 5 hoofdstukken:

  1. De Wedderburn ontbinding van QC_n met GAP.
  2. Symmetrische elementen met Sagemath.
  3. Z-orders in QC_5^+ met Sagemath.
  4. Eenheden in de Wedderburn componenten met Pari.
  5. Eenheden in ZC_5^+ in Pari en Sagemath

 

Wortelspiraal

Geplaatst op door

De term “wortel spiraal” verwijst naar de spiraal van Theodorus, een meetkundige constructie om de vierkantswortels van opeenvolgende natuurlijke getallen te visualiseren.  De spiraal bestaat uit een reeks aaneengeschakelde rechthoekige driehoeken, waarbij elke driehoek aan de vorige wordt geplaatst. De schuine zijde van de volgende driehoek is de wortel van het volgende natuurlijke getal, en de lengte daarvan wordt bepaald door de stelling van Pythagoras.