Maandelijks archief: december 2025

Hoogtelijnen in een driehoek

Geplaatst op door

 

Beschouw een willekeurige driehoek ABC met zijden

a = |BC|,\qquad b = |CA|,\qquad c = |AB|.
Noem h_a,h_b,h_c de lengtes van de hoogtelijnen op respectievelijk BC,CA,AB.
Verder zij r \quad \text{de straal van de ingeschreven cirkel,} en s = \frac{a+b+c}{2}
de halve omtrek van de driehoek.

De oppervlakte \Delta van de driehoek kan op twee fundamentele manieren worden uitgedrukt.

Enerzijds geldt, via de hoogtelijnen:

\Delta = \frac{1}{2} a h_a= \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c.

Anderzijds is er de klassieke formule met de ingeschreven cirkel:
\Delta = r s.

Door beide uitdrukkingen voor de oppervlakte te vergelijken, krijgen we:

\frac{1}{2} a h_a = r s, waaruit volgt: h_a = \frac{2rs}{a}.
Analoog vinden we:

h_b = \frac{2rs}{b}, \qquad h_c = \frac{2rs}{c}.

Neem nu van deze uitdrukkingen de omgekeerden:
\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_b} = \frac{b}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_c} = \frac{c}{2rs}.

Door deze drie gelijkheden op te tellen, bekomen we:

\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{a+b+c}{2rs}.
Omdat a+b+c = 2s, vereenvoudigt dit tot:

\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{2s}{2rs}= \frac{1}{r}.

We besluiten dat voor elke driehoek het volgende elegante verband geldt:

    \[\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}\]

Het vermoeden van Euler

Geplaatst op door

In 1769 formuleerde Euler het volgende vermoeden: Voor n>2 zijn minstens n n-de machten nodig om samen weer een -de macht te vormen.

In 1966 vonden L. J. Lander en T. R. Parkin met behulp van een computer een tegenvoorbeeld :  een som van vier vijfde machten die gelijk is aan een vijfde macht. Hieronder zie het ‘korte’ artikel dat  hierover gepubliceerd werd:

 

In 1986 vond Noam Elkies een tegenvoorbeeld met 3 vierdemachten: 

Dus ook voor n=4 is het vermoeden fout. De situatie voor n=4 was heel wat moeilijker dan voor n=5 omdat elliptische krommen hier een rol in spelen.

Het vermoeden van Erdös en Straus

Geplaatst op door

Het Erdös-Straus vermoeden werd geformuleerd in 1948 door de Hongaars wiskundige Paul Erdös( 1913-1996) en de Duits-Amerikaanse wiskundigen ernst Straus(1922-1983). Erdös was een van de meest productieve wiskundige die veel bijdroeg aan de getaltheorie. Hij stond vooral bekend om het stellen van eenvoudige maar diepgaande vragen. Straus werkte ook in de getaltheorie en was bovendien medewerker van Alfred Einstein. Samen onderzochten ze eigenschappen van Egyptische breuken en kwamen zo tot volgend probleem:


Voor elke natuurlijke n\geq 2 geldt dat de breuk \frac{4}{n}  kan worden geschreven als een som van drie stambreuken (Egyptische breuken). Het is een van de bekendste onopgeloste problemen in de getaltheorie.

De conjectuur is triviaal waar voor alle even n. Ook werd voor veel typen priemgetallen  een expliciete oplossing geconstrueerd. Het moeilijke geval zit in getallen n waarvoor n \equiv 1 \mod 4.  Wel is het zo dat voor alle getallen tot enorm hoge grenzen (momenteel trilljoenen)  de gelijkheid bevestigd is  door computers. Hieronder een Python programma voor n kleiner dan of gelijk aan 20.

 

Met als output: 

De driehoek van Kepler

Geplaatst op door

De Kepler-driehoek is een bijzondere rechthoekige driehoek die werd bestudeerd door de astronoom en wiskundige Johannes Kepler (1571–1630). Wat deze driehoek uniek maakt, is dat de lengtes van zijn zijden een meetkundige rij vormen en dat het iets te maken heeft met de gulden snede. Kepler schreef ooit: 

“Geometria duas magnas res habet: theoremata Pythagorae et sectionem auream.”
(De meetkunde bezit twee grote schatten: de stelling van Pythagoras en de gulden snede.)

Voor Kepler waren deze twee diep verbonden, en de Kepler-driehoek was voor hem een symbolische en wiskundige schakel tussen beide. We weten dat de gulden snede gegeven wordt door \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} en dat \varphi^2=1+\varphi. Zodoende krijgen we volgende situatie:

Rare breuken

Geplaatst op door

Er geldt

    \[2=\frac{13458}{6729}\]

Je krijgt een formule waarin alle negen de beduidende cijfers juist één keer voorkomen. Kan je nu ook dergelijke uitkomsten vinden voor 3,4,5,6,7,8 en 9? We hebben een Python programma geschreven. Het programma zoekt systematisch alle permutaties van 1 tot 9, splitst ze in een teller (5 cijfers) en een noemer (4 cijfers), en controleert of teller/noemer gelijk is aan n.

De output :