Maandelijks archief: januari 2026

Wiskunde en tennis

Geplaatst op door

In 1985 werd de damesfinale op Roland-Garros door Chris Evert van Marina Navratilova gewonnen met 6-3,6-7 en 7-5. Stel dat er acht service-breaks waren, wie serveerde dan laatst?

  • Noem de winnares van de match A (ze wint set 1 en 3) en de andere speelster B.
  • Het totaal aantal servicegames is 9 + 13 + 12 -1 = 33 ( de tiebreak is set 2 is wel een game , maar geen servicegame.

  • Als A de allereerste game van de match serveert, dan serveert ze in totaal 17 servicegames (en B 16). Als B eerst serveert, dan serveert A 16 en B 17. (Omdat er 33 servicegames zijn.)

  • = aantal servicegames van A, = aantal keren dat A haar opslag verliest (A wordt gebroken), = aantal keren dat B haar opslag verliest (B wordt gebroken).

  • Nu weten we dat a + b = 8.
  • A wint  19 games. Die komen van x - a ( de keren dat a haar opslag behoudt) en b ( het aantal keren dat A door de opslag van B breekt).
  • Dan geldt: 19=x-a+b=x-a+8-a=x+8-2a ofwel  x=11+2a
  • Nu kan x enkel de waarde 16 of 17 aannemen. Omdat a geheel moet zijn kan enkel x=17 en dan is a=3 en b=5.
  • A moet 17 keer hebben opgeslagen, dus A serveerde als eerste in de match.
  • Set 1 heeft 9 games (oneven) , dus de  startserver van set 2 wisselt. Set 2 eindigt met tiebreak, bijgevolg is de startserver van set 3  opnieuw dezelfde als in set 1.
    Dus set 3 begint met A aan opslag. Set 3 heeft 12 games (even), dus de laatste (12e) game wordt geserveerd door de andere speelster.
  • Navratilova serveerde als laatst (de speelster die de match verloor serveerde de laatste game, en werd daar gebroken)

Wiskunde en Chatgpt 5.2

Geplaatst op door

De voorbije dagen wees Terence Tao erop dat er op de Erdős Problems-website een mijlpaal is bereikt: een open probleem van Erdős (nummer #728) kreeg een oplossing waarbij AI-tools een opvallend grote rol speelden — en de kernstelling werd bovendien formeel geverifieerd in Lean.

Lean is een bewijsassistent : software waarmee je wiskundige definities, stellingen en bewijzen zó precies opschrijft dat de computer stap voor stap kan controleren of alles logisch klopt.

Wat doet Lean concreet?

  • Het definieert objecten: groepen, ringen, verzamelingen, limieten, enz.

  • Het formuleert een stelling in formele taal.

  • Het schrijft een bewijs als een reeks kleine logische stappen (tactieken of termen).

  • Lean accepteert het bewijs alleen als elke stap geldig is volgens de logica én volgens de eerder gedefinieerde begrippen.

Als Lean “QED” bereikt, betekent dat: het bewijs is formeel correct binnen het systeem.

De status op de probleem-pagina is ondertussen:

PROVED (LEAN) – opgelost en het bewijs is in Lean geverifieerd.

Concreet vermeldt de pagina dat Kevin Barreto en ChatGPT-5.2 bewezen hebben dat er (zelfs vrij “symmetrische”) oplossingen bestaan. 

 

En wat is nu juist de rol geweest van Chatgpt?

  1. Een informeel argument werd gegenereerd met een taalmodel (GPT-5.2/ChatGPT-5.2).

  2. Dat argument werd vervolgens geformaliseerd in Lean met hulp van een automatische formaliserings-/theorem-proving tool (“Aristotle” wordt expliciet genoemd), waarna anderen konden nakijken of de formele statement klopt.

  3. Daarna volgden er menselijke controles: klopt de formulering, hoe zit het met trivialiteiten, en is er eerdere literatuur (bv. Pomerance) die verwant is?

Dat laatste is cruciaal: een Lean-check geeft heel veel zekerheid dat de formele proof correct is voor de exacte formele stelling — maar je wil nog steeds menselijke zorg voor (i) interpretatie van het “bedoelde” probleem en (ii) correcte situering in bestaande literatuur. 

In de thread maakt Tao een  heel didactisch punt: wiskunde gaat niet enkel om een proof-object, maar om begrip. Een AI kan een technisch correcte redenering produceren, maar het “rondmaken” — motivering, context, why-this-works, verbanden met eerdere resultaten — blijft essentieel. AI speelde een hoofdrol in het produceren van een bruikbaar argument en in (semi-)automatische formaliseringsstappen, maar het geheel gebeurde in een community-proces met menselijke controle, discussie over interpretatie, en aandacht voor literatuur.

Opgave 44

Geplaatst op door

Bepaal de rest van de deling van 1111^{2026} door 11111

 

“Antwoord“

  • We weten dat 11111=10^4+10^3+10^2+10+1=10^4+1111. Bijgevolg is 1111\equiv -10^4 \mod 11111.
  • Maar dan is 1111^{2026}\equiv (-10^4)^{2026} \mod 11111 of 1111^{2026}\equiv 10^{8104} \mod 11111.
  • Er geldt ook dat 10^5=9\times 11111+1\equiv 1\mod 11111.
  • Hieruit volgt dat 1111^{2026}\equiv (10^5)^{1620}10^4 \equiv 10^4 \mod 11111.
  • Bijgevolg is de rest van de deling van 111^{2026} door 11111 gelijk aan 10000.

 

De 31ste eeuw (3100-3001 voor Chr) voor Christus: een horizontale benadering

Geplaatst op door

De 31e eeuw v.Chr. ligt op een kantelpunt: in verschillende regio’s worden dorpen echte steden, ontstaan de eerste (proto-)schriftsystemen en zien we de kiemen van staten met belastingen, administratie en monumentale bouw. Tegelijk blijft het overgrote deel van de mensheid leven als boeren in kleine gemeenschappen, herders, vissers en jagers-verzamelaars.

1) Hoeveel mensen leefden er toen?

Exacte aantallen bestaan niet; het zijn reconstructies uit archeologie en demografie. Een vaak geciteerde historische schatting plaatst de wereldbevolking rond 3000 v.Chr. op ongeveer 14 miljoen mensen.  Het is een wereld met “dunne” bevolkingslinten langs rivieren, kusten en vruchtbare plateaus.

Waar woonden die mensen vooral?

  • Grote rivier- en irrigatiezones: Nijl, Tigris–Eufraat, Indus (en zijrivieren), Gele Rivier-gebied (late neolithische centra).

  • In Europa: landbouwzones (veel kleiner en diffuser), met hier en daar regionale centra en monumentale cultusplaatsen.

  • In Afrika buiten de Nijl: grote variatie, maar een belangrijke achtergrondtrend is de verdroging van de Sahara (zie verder).

2) Hoe zag de wereld er fysisch uit? (klimaat, ijskappen, landschappen)

Geen “ijstijdwereld” meer: de laatste ijstijd was al millennia voorbij. Grote continentale ijskappen zoals die van Noord-Amerika (Laurentide) waren in sterke terugtocht en uiteindelijk grotendeels verdwenen; dat “einde van de grote ijstijden” ligt ver vóór 3000 v.Chr.
Er bleven uiteraard wél permanente ijsmassa’s en gletsjers in poolgebieden en hooggebergten (denk aan Groenland/Antarctica en bergketens), maar het algemene beeld is Holocene: bossen, steppen, rivierdelta’s, kustvlaktes, en landbouw die zich uitbreidt.

Een cruciale klimaatverandering rond deze tijd: het einde van de ‘Groene Sahara’.
De Afrikaanse Humide Periode (toen de Sahara veel groener en natter was) liep af tussen grofweg 6000–5000 jaar geleden (dus in de millennia vóór en rond 3000 v.Chr.), met sterke verdroging en migratie-effecten.
Dat helpt verklaren waarom de Nijlvallei zo’n uitzonderlijke “magneet” werd voor bevolking, landbouw en staatsvorming.

3) Welke culturen en “centra” zien we wereldwijd?

Hier is een wereldtour, niet per landgrens (die bestonden niet), maar per grote cultuurzone.

A. Noordoost-Afrika: Egypte wordt één rijk

Rond het einde van het 4e millennium v.Chr. en het begin van het 3e zien we de overgang naar de Vroegdynastieke Periode in Egypte (vaak rond 3150 v.Chr. geplaatst).
De figuur die traditioneel met de eenmaking van Boven- en Beneden-Egypte verbonden wordt is Narmer.

  • Belangrijk “object”: de Narmer-palet (31e eeuw v.Chr.) wordt vaak geïnterpreteerd als propaganda/ritueel beeld rond eenmaking en koningsmacht.

  • Wat hier opvalt: vroege hiërogliefen, hofrituelen, en een staat die voedseloverschotten en arbeid kan sturen.

Kort gezegd: in de 31e eeuw v.Chr. staat Egypte aan het begin van een lange dynastieke traditie, met herkenbare koningsideologie en administratie.

B. Mesopotamië: steden, administratie en de doorbraak van schrijven

In Zuid-Mesopotamië (Uruk en omgeving) is de administratieve revolutie al bezig: kleitabletten, zegels, en tekens die evolueren naar proto-spijkerschrift. Proto-cuneiform is in Uruk attesteerbaar vanaf ca. 3400–3000 v.Chr.

Wat betekent dat “in mensentaal”?

  • Grote instellingen (tempel/paleisachtige complexen) moeten graan, vee, arbeid, ruil en opslag bijhouden.

  • Daarvoor ontstaat een systeem van tekens, tellen en registreren: schrijven groeit uit boekhouding.

C. Iran/Elam: Proto-Elamitisch schrift

In het gebied rond Susa verschijnt rond 3100–2700 v.Chr. het Proto-Elamitisch schrift, een vroege en nog deels raadselachtige schrijfttraditie.


Dit is belangrijk omdat het toont dat “schriftvorming” niet één enkele uitvinding is die overal identiek wordt gekopieerd: verschillende regio’s zoeken oplossingen voor dezelfde bestuursproblemen.

D. Kaukasus en hooglanden: Kura–Araxes (vroeg-bronstijdnetwerken)

In de zuidelijke Kaukasus en aangrenzende hooglanden groeit en verspreidt de Kura–Araxes-cultuur (ca. 3400–2000 v.Chr.), met verspreiding tegen/om 3000 v.Chr.


Kenmerkend zijn:

  • mobiele en semi-sedentaire gemeenschappen,

  • sterke materiële cultuur (aardewerktradities),

  • en netwerken tussen hoogland en laagland (grondstoffen, metalen, routes).

E. Zuid-Azië: vroege Indus/Harappan wereld

De Indusbeschaving wordt meestal in fases bekeken. De Early Harappan fase wordt vaak gedateerd 3300–2600 v.Chr.
In de 31e eeuw v.Chr. zitten we dus in de opbouwfase: groeiende nederzettingen, regionale handelscontacten en de vroege voorwaarden voor latere, grotere steden.

F. China: begin van Longshan (laat-neolithische “proto-steden”)

In Noord-China begint de Longshan-cultuur rond 3000 v.Chr. en loopt tot ca. 1900 v.Chr.
Typisch in deze periode (in grote lijnen):

  • grotere nederzettingen,

  • verdedigingswerken (aarden wallen),

  • sociale stratificatie (niet iedereen leeft of wordt begraven op dezelfde manier),

  • verfijnd aardewerk (zwarte, dunwandige varianten zijn berucht).

G. Europa: megalieten, landbouwregio’s en monumenten

Europa kent géén wereldrijk of schriftstaten zoals Egypte/Mesopotamië, maar wel indrukwekkende monumentale tradities.

Een iconisch voorbeeld is Stonehenge: de eerste fase (aarden wal/greppel en de Aubrey holes) wordt doorgaans rond 3000 v.Chr. geplaatst, met soms nog iets vroegere dateringen in de discussie.
Dit wijst op:

  • georganiseerde arbeid (planning en gemeenschap),

  • ritueel landschap (henges, lange grafmonumenten, processieroutes),

  • en een “sociale motor” die niet per se staat of schrift vereist.

H. Amerika: de Caral–Supe/Norte Chico doorbraak

In Peru bloeit de Caral–Supe (Norte Chico) beschaving: grootschalige nederzettingen en monumenten zijn duidelijk vanaf ca. 3100 v.Chr. zichtbaar, en Caral–Supe geldt als een van de vroegste onafhankelijke “beschavingskernen” in de Amerika’s.
UNESCO benadrukt Caral–Supe als een zeer oud centrum van beschaving in de Amerika’s (ca. 5000 jaar oud).

4) Belangrijkste personen en “feiten” (wat kun je écht bij naam noemen?)

Voor deze eeuw is het aantal historisch identificeerbare personen beperkt, omdat schrift nog jong is en veel teksten administratief zijn.

Een van de weinigen die stevig bij naam in het vizier komt, is:

  • Narmer (Egypte) – verbonden met vroege dynastieke macht en (volgens interpretatie) eenmaking.

De grootste “feiten” (wereldwijd) zijn daarom vaak structureel, niet biografisch:

  • Staatsvorming in Egypte (dynastieke start)

  • Administratie en (proto-)schrift in Mesopotamië

  • Parallelle schriftontwikkeling in Iran (Proto-Elamitisch)

  • Nieuwe grootschalige bouw en stedelijkheid in Peru (Caral–Supe)

  • Regionale “proto-stedelijke” groei in China (Longshan)

  • Monumentale cultuslandschappen in Europa (o.a. Stonehenge in wording)

Besluit: wat maakt de 31e eeuw v.Chr. bijzonder?

Als je één zin zoekt: dit is een wereld waarin complexiteit op meerdere plaatsen tegelijk “opschaalt”. Niet omdat iedereen ineens hetzelfde doet, maar omdat landbouwoverschotten, handel en klimaatdruk (zoals Sahara-verdroging) in sommige kerngebieden genoeg massa creëren voor administratie, hiërarchie en monumenten.

  • Demografisch: nog een relatief kleine wereldbevolking (orde ± 14 miljoen rond 3000 v.Chr.)

  • Ecologisch: Holocene landschappen, met grote regionale veranderingen (met name Noord-Afrika).

  • Cultureel: het begin van schrijf- en staatsmaatschappijen in sommige zones, terwijl elders complexe samenlevingen ontstaan zonder schrift (zoals Caral–Supe) of met monumenten als sociaal cement (zoals in delen van Europa).

Sylvester-Gallai stelling

Geplaatst op door

Stel je een eindige verzameling van punten in het vlak voor, waarbij niet alle punten op éénzelfde rechte liggen. Een verrassend eenvoudige maar diepe bewering luidt dan:

Er bestaat minstens één rechte die door precies twee van deze punten gaat.

Zo’n rechte noemt men vaak een gewone of ordinair rechte. Op het eerste gezicht lijkt dit evident, maar bij nader inzien blijkt het een niet-triviale uitspraak te zijn die aan de basis ligt van een hele tak van de combinatorische meetkunde.

De oorsprong van dit probleem ligt bij J.J.Sylvester (1814-1897), een Britse wiskundige die deze uitspraak publiceerde in 1893, maar geen bewijs gaf. 40 jaar lang werd geen oplossing gevonden. Rond 1930 rakelt Erdös het probleem terug op. De eerste oplossing komt van de Hongaar Grünewald (1933 die onder de naam galli een bewijs in het gecomplementeerd affien vlak geeft. later komen er elegantere oplossingen binnen.

 

Stap 1 – Kies een minimale afstand

Beschouw alle paren van verschillende punten uit . Omdat eindig is, bestaat er een paar (A,B) waarvoor de afstand d(A,B) minimaal is onder alle afstanden tussen twee verschillende punten van . Laat r de rechte zijn door A en .

Stap 2 – Veronderstel dat er een derde punt op ligt

Stel, om een tegenspraak te bekomen, dat er een derde punt C∈S op de rechte ligt. Dan liggen A,B,C op één lijn. Zonder verlies van algemeenheid ligt tussen en  Dan geldt: AB<AC en AB<BC. Maar dan is de afstand AB niet de enige minimale afstand op die rechte: het punt ligt “tussenin”, wat toelaat een kortere afstand te construeren tussen twee van de drie punten — in tegenspraak met de minimaliteit vand(A,B).

Stap 3 – Conclusie

De veronderstelling dat er een derde punt op r ligt is onmogelijk. Dus: r bevat precies twee punten van S. Daarmee is de stelling bewezen. ∎

Steinberg suggereert in 1944 dat we misschien de uitspraak van Sylvester nog scherper kunnen stellen. Kunnen we voor bepaalde waarden van n steeds meer dan 1 ordinaire rechte vinden? Sterker nog: kunnen we het aantal ordinaire rechten(m) uitdrukken in functie van het aantal punten(n)? Er zijn al veel publicaties over dit onderwerp verschenen. Kelly en Mose publiceerden als eerste een ondergrens :

    \[m\geq \frac{3}{7}n\]

Hansen onderzocht de waarde van m voor enkele kleine waarden van n en vond  (geschreven als koppels (n,m)) : (3,3), (4,3), (5,4) ,(6,3), (7,3), (8,4), (9,6), (10,5)