Auteur archieven: admin

Determinant vervolg

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 3×3 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  oneven is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =aei+bfg+dhc-gec-dbi-ahf\]

  • Omdat het gaat over even/oneven kunnen we modulo 2 werken. 
  • Determinant oneven betekent dan dat de determinant 1 is en dus dat de matrix inverteerbaar moet zijn.
  • Een matrix is inverteerbaar als de kolommen onafhankelijk zijn. Kies de eerste kolom willekeurig ( mag niet 000 zijn) . Dan heb je hiervoor 7 mogelijkheden.
  • De tweede kolom mag geen veelvoud zijn van de eerste, maw mag er niet aan gelijk zijn. Dus heb je hiervoor nog 6 mogelijkheden.
  • De derde kolom mag niet gelijk zijn aan de eerset of de tweede , maar ook niet gelijk aan de som van die twee ( en natuurlijk ook niet 000). Hiervoor heb je 4 mogelijkheden .
  • Er zijn 7x6x4=168 mogelijkheden om determinant 1 te vinden. Er zijn 2^9=512 mogelijke matrices te vormen met nullen en enen.
  • De kans dat een 3×3 matrix met natuurlijke elementen oneven is , is dus

        \[\frac{168}{512}\]

Determinant

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 2×2 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  even is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =ad-bc\]

  • Een product van twee natuurlijke getallen is oneven als beide getallen oneven zijn, dus de kans dat ad oneven is, is \frac{1}{4}. De kans dat ad even is, wordt dat \frac{3}{4}.
  • Nu is det A even als ad en bc beiden even zijn of beide oneven zijn.
  • De kans dat det A even is , is bijgevolg gelijk aan \frac{1}{4}.\frac{1}{4}+\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{10}{16}=0,625

Nootje 45

Geplaatst op door

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw  een getal dat een kwadraat is.

Antwoord

  • Noteer met x het gezochte getal. 
  • Dan kan je schrijven dat x=p^2 met p tussen 31 en 100.
  • Elk cijfer mer 3 vermeerderen betekent dat je 3333 optelt bij x. 
  • Deze uitkomst is weer het kwadraat van een getal: Noteer dit als q^2.
  • Dan is q^2-p^2=3333 of (q-p)(q+p)=3333. 
  • Nu kan je 3333 schrijven als 1.3333=3.1111=11.303=33.101.
  • Zo bekom je bvb het stelsel q+p=101 en q-p=33, waaruit volgt dat p=34 
  • De andere mogelijkheden leveren geen oplossing op voor p tussen 32 en 100.
  • Het gezocht getal is dus 34^2=1156

Valse munten

Geplaatst op door

Je hebt 10 stapels van 10 munten. Elke munt  van 9 van die stapels weegt 6 gram? Maar de munten van de 10de stapel wegen elk maar 5 gram. Hoe kan je met slechts 1 weging weten in welke stapel de munten van 5 gram zitten?

Antwoord

  • Neem van de eerste stapel 1 muntstuk, van de tweede stapel 2 muntstukken, van de derde stapel 3 munten, ….. en van de tiende stapel 10 munten.
  • Je hebt dan 1+2+3+…+10 = 55 munten genomen.
  • Als ze elk 6 gram zouden wegen , is het totale gewicht 6 x 55 = 330 gram.
  • Weeg nu de 55 munten. Het gewicht minder dan 330 gram geeft aan welke stapel de munten van 5 gram bevat. Want stel dat de 55 munten 327 gram wegen, dan zijn er drie munten bij van 5 gram. Drie munten heb je genomen van de  derde stapel. Dus stapel drie heeft de munten van 5 gram.

Les 5: Diophantische vergelijkingen en modulo rekenen

Geplaatst op door

Als twee gehele getallen gelijk zijn, dan zijn hun resten bij deling door een zelfde natuurlijk getal, verschillend van nul, ook gelijk. Of via contrapositie: als er tenminste 1 natuurlijk getal n bestaat waarvoor a \neq b \mod n, dan zal ook a verschillend zijn van b.

Proberen we eens met

    \[2x^2-3y^2-9463=0\]

  • Herschrijf tot 2x^2-3y^2=9463.
  • We bepalen de resten van beide leden bij deling door 3: 2x^2-3y^2\equiv 9463 \mod 3.
  • Of 2x^2\equiv 1 \mod 3.
  • Het inverse element, modulo 3, van 2 is 2 zelf, dus kunnen we vorige  vergelijking herschrijven als

        \[x^2\equiv 2 \mod 3\]

  • Nu is 2 geen kwadraatrest modulo 3, want 0^2=0,1^2=1 en 2^2=1.
  • Bijgevolg heeft de gegeven vergelijking geen oplossingen.